Теорема Лагранжа (теорія груп)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

,

де позначає індекс групи по підгрупі ,тобто кількість класів суміжності в , а позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності групи щодо . Ця множина розбиває групу на рівнопотужних множин: .

Тобто

,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

,

і враховуючи їх рівнопотужність з , остаточно отримуємо

,

тобто:

.

Узагальнення[ред.ред. код]

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:

нехай є скінченною групою і маємо , тоді

.

Доведення[ред.ред. код]

З теореми Лагранжа випливає:

і також
,
звідки
.

Література[ред.ред. код]