Теорема Лагранжа (теорія груп)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

,

де позначає індекс групи по підгрупі ,тобто кількість класів суміжності в , а позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності групи щодо . Ця множина розбиває групу на рівнопотужних множин: .

Тобто

,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

,

і враховуючи їх рівнопотужність з , остаточно отримуємо

,

тобто:

.

Наслідки[ред.ред. код]

  1. Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи в однакова і називається індексом підгрупи в (позначається ).
  2. Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи є дільником порядку .
  3. Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи є дільником . Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
  4. Група порядку , де - просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати 1, всі елементи, крім одиниці, мають порядок , а отже, кожен з них породжує групу.)

Узагальнення[ред.ред. код]

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:

нехай є скінченною групою і маємо , тоді

.

Доведення[ред.ред. код]

З теореми Лагранжа випливає:

і також
,
звідки
.

Література[ред.ред. код]