Теорема Лебега про розклад міри

Ввідні означення

Нехай $F$ — монотонно неспадна, неперервна зліва функція дійсної змінної для якої $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$. У напівкільці всіх інтервалів виду $[a,\;b)$ можна ввести міру $\mu _{F}$ як: $\mu _{F}[a,\;b)=F(b)-F(a)$. Її можна продовжити на борелівську сигма-алгебру породжену напівкільцем вказаних інтервалів. Зокрема для різних типів інтервалів $a,\;b$ із скінченними кінцями:

$\mu _{F}[a,\;b)=F(b)-F(a)$,

$\mu _{F}(a,\;b)=F(b)-F(a+0)$,

$\mu _{F}(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)$,

$\mu _{F}[a,\;b]=F(b+0)-F(a)$.

де $F(a+0)$ і $F(b+0)$ позначають границі справа функції $F$ у відповідних точках.

$\mu _{F}$ називається мірою Лебега — Стілтьєса.

Типи мір

• $F$ — функція стрибків, яка є константою в усіх точках за виключенням не більш, ніж зліченної множини точок $x_{i},\ i\geqslant 1$ у яких функція «здійснює стрибок». Стрибок завжди є додатним і у точці розриву $x_{i}$ він є рівним $h_{i}=F(x_{i}+0)-F(x_{i})$. Міра $\mu _{F}$ множини $A$ у цьому випадку є рівною:

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$

У цьому випадку $\mu _{F}$ називається дискретною мірою.

• Функція F є неперервною, монотонно не спадною на $[a,\;b]$ і $F'(x)=f(x)$. Тоді міра $\mu _{F}$ множини $A$ є рівною:

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$

У цьому випадку $\mu _{F}$ називається абсолютно неперервною мірою.

• $F$ — сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст $F$ рівний 1 на всьому відрізку, але $F$ є константою майже всюди ). Міра $\mu _{F}$ зосереджена у точках зростання функції і називається сингулярною мірою.

Теорема про розклад міри

Твердження для міри Лебега — Стілтьєса

Згідно теореми Лебега про розклад міри будь-яку міру Лебега — Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.

Твердження для σ-адитивних мір

Якщо $\mu$ і $\nu$ є заданими на вимірному просторі $(\Omega ,\Sigma )$ двома σ-скінченними мірами (чи, більш загально, σ-скінченними σ-адитивними зарядами), тоді існують дві міри (чи, відповідно σ-адитивні заряди) $\nu _{0}$ і $\nu _{1}$ для яких:

• $\nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,$
• $\nu _{0}\ll \mu$ (тобто $\nu _{0}$ є абсолютно неперервною щодо $\mu$)
• $\nu _{1}\perp \mu$ (тобто $\nu _{1}$ і $\mu$ є сингулярними).

Ці дві міри є однозначно визначеними для $\mu$ and $\nu .$

Випадок міри Лебега — Стілтьєса одержується якщо $\mu =\nu$ є мірою Лебега — Стілтьєса, після чого її можна розкласти на абсолютно неперервну і сингулярну частини, а тоді із сингулярної частини окремо виділити (не більш, ніж зліченну) підмножину точок міра кожної з яких є додатною і відповідну дискретну міру.

Теорема Лебега пов'язана із теоремою теоремою Радона — Нікодима і її доведення можна одержати паралельно із доведенням цієї теореми (як у другому доведені у відповідній статті).

Див. також

• Інтеграл Лебега — Стілтьєса
• Теорема Радона — Нікодима

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)