Теорема Лебега про розклад міри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ввідні визначення

Нехай монотонно неспадна функція, неперервна зліва на відрізку . На вводиться борелівська сигма-алгебра:

,
,
,
,

міра Стілтьєса на відрізку , для твірної функції якої: . Тому можна продовжити міру на всю числову пряму.

Окремі випадки твірної функції:

  • — функція стрибків. Стрибок завжди додатний, множина — з скінченного або зліченного числа точок (скалярів).

— дискретна міра.

  • Функція F неперервна, монотонно не спадає на , на .

— абсолютно неперервна міра.

  • — сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст рівний 1 на всьому відрізку, але є константою майже всюди ). Міра зосереджена в точках зростання функції.
Теорема про розклад міри

Будь-яку міру Лебега - Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]