Теорема Леві про монотонну збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема про монотонну збіжністьтеорема теорії інтегрування Лебега, що має фундаментальне значення для функціонального аналізу і теорії ймовірностей, де є інструментом для доведення багатьох тверджень. Дає одну з достатніх умов при яких можна переходити до границі під знаком інтеграла Лебега, дозволяє довести існування межі у деяких обмежених функціональних послідовностей.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай — фіксований простір з мірою.

  • Нехай — монотонно зростаюча функціональна послідовність. Причому інтеграли Лебега від функцій обмежені в сукупності, тобто . Тоді гранична функція скінченна майже всюди, інтегровна і .
  • Нехай ряд складається з інтегровних невід'ємних функцій. Тоді якщо інтеграли від часткових сум ряду обмежені в сукупності:
,

то ряд сходиться до майже всюди скінченної інтегровної функції і

.

Формулювання з теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай - монотонна послідовність невід'ємних майже напевно інтегровних випадкових величин. Тоді

.

Література[ред.ред. код]

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
  • Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
  • D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6