Теорема Леві про монотонну збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема про монотонну збіжністьтеорема теорії інтегрування Лебега, що має фундаментальне значення для функціонального аналізу і теорії ймовірностей, де є інструментом для доведення багатьох тверджень. Дає одну з достатніх умов при яких можна переходити до границі під знаком інтеграла Лебега, дозволяє довести існування межі у деяких обмежених функціональних послідовностей.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal{F},\mu) — фіксований простір з мірою.

\int\limits_X\lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)\, \mu(dx)= \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx).
  • Нехай \{f_n\}_{n=1}^{\infty} — монотонно зростаюча функціональна послідовність. Причому інтеграли Лебега від функцій f_n(x) обмежені в сукупності, тобто \exist K:\forall n\in\mathbb N,\int\limits_X {f_n(x)}\mu (dx)<K. Тоді гранична функція f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) скінченна майже всюди, інтегровна і \int\limits_X f(x)\mu(dx)=\lim_{n\to\infty}\int\limits_X f_n(x)\mu(dx).
  • Нехай ряд \sum_{k=1}^\infty\phi_k(x) складається з інтегровних невід'ємних функцій. Тоді якщо інтеграли від часткових сум ряду обмежені в сукупності:
\int\limits_X\sum_{k=1}^n\phi_k(x)\mu(dx)\leq C,

то ряд \{X_n\}_{n=1}^{\infty} сходиться до майже всюди скінченної інтегровної функції і

\sum_{k=1}^\infty\int\limits_X\phi_k(x)\mu(dx)=\int\limits_X\phi(x)\mu(dx).

Формулювання з теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій \Omega, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай \{X_n\}_{n=1}^{\infty} - монотонна послідовність невід'ємних майже напевно інтегровних випадкових величин. Тоді

\mathbb{E}\left[\lim\limits_{n\to \infty} X_n\right] = \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{E}X_n.

Література[ред.ред. код]

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
  • Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
  • D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6