Теорема Лестер

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Точки Ферма , центр кола дев'яти точок (світло-блакитного), і центр описаного кола зеленого трикутника лежать на колі Лестер (чорне).

Теорема Лестер - твердження в геометрії трикутника, згідно з яким у будь-якому різнобічному трикутнику дві точки Ферма, центр дев'яти точок і центр описаного кола лежать на одному колі (колі Лестер). Названа ім'ям канадської математикині Джун Лестер (June Lester).

Доведення

[ред. | ред. код]

Доведення Гіберта за допомогою гіперболи Кіперта

[ред. | ред. код]

Теорема про коло Лестер випливає з загальнішого твердження Б. Гіберта (2000), а саме, що будь-яке коло, діаметр якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і перпендикулярний до його прямої Ейлера, проходить через точки Ферма[1][2].

Лема Дао на прямокутній гіперболі

[ред. | ред. код]
Теорема Дао про прямокутну гіперболу

2014 року Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показав, що результат Гіберта випливає з властивостей прямокутних гіпербол. А саме, нехай точки і лежать на одній гілці прямокутної гіперболи , а і - дві точки на , симетричні відносно її центру (точки-антиподи), в яких дотичні прямі до паралельні прямій .

Нехай і - дві точки на гіперболі, дотичні прямі в яких перетинаються в точці на прямій . Якщо пряма перетинає в точці , і перпендикуляр у середині відрізка перетинає гіперболу в точках і , то шість точок лежать на одному колі[3].

Щоб отримати теорему Лестер із цього результату, слід взяти як гіперболу Кіперта трикутника, як точки - точки Ферма, точками будуть внутрішня і зовнішня точки Вектена, точками будуть ортоцентр і центроїд трикутника[3].

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
  2. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR2868943
  3. а б Đào Thanh Oai (2014), A Simple Proof of Gibert’s Generalization of the Lester Circle Theorem Forum Geometricorum, volume 14, pages 201—202. MR3208157

Література

[ред. | ред. код]
  • Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89, вип. 26 (18 липня).
  • June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53 (18 липня). — С. 4–35.
  • Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6 (18 липня). — С. 15–28.
  • Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85 (18 липня). — С. 225–232.
  • John Rigby. A simple proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87 (18 липня). — С. 444–452.
  • J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 498–500.
  • Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 505–506.
  • Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91. — С. 469–480.

Посилання

[ред. | ред. код]