Теорема Машке
В математиці, теорема Машке,[1][2] — теорема в теорії представлень груп щодо розкладу представлень скінченних груп на незвідні представлення. Теорема Машке дозволяє робити висновки про представленя скінченних груп G без їх обчислень. Вона зводить задачу класифікації всіх представлень до задачі класифікації незвідних представлень, на пряму суму яких розкладається довільне представлення.
Якщо V є представленням групи G над полем F характеристика якого не ділить порядок групи G і W є підпростором інваріантним щодо представлення, тоді існує інший підпростір U у V, що є інваріантим щодо представлення і V=W⊕U.[3][4]
Як наслідок для довільного представлення групи G над полем характеристика якого не ділить порядок групи G, векторний простір V є прямою сумою підпросторів обмеження представлення на які є незвідними представленнями.[5][6]
При цьому підході до представлень скінченних груп, представлення групи G замінюється модулем над її груповою алгеброю K[G] (точніше існує ізоморфізм категорій між K[G]-Mod і RepG). Незвідні представлення при цьому відповідають простим модулям. Тоді теорему Машке можна сформулювати так:
Нехай G — скінченна група і K поле характеристика якого не ділить порядок групи G. Тоді K[G], групова алгебра групи G, є напівпростою. Як наслідок кожен модуль над K[G] є напівпростим модулем.
Оскільки для будь-якого представлення групи простір представлення можна вважати модулем множення елементів групи на якому визначається дією лінійного оператора в представленні групи, то попереднє формулювання теореми є наслідком формулювання для модулів і групових алгебр.
Цей варіант твердження дозволяє застосувати для вивчення представлень теорію напівпростих кілець, зокрема теорему Артіна - Веддерберна. Коли K є полем комплексних чисел, звідси випливає, що алгебра K[G] є добутком кількох копій комплексних матричних алгебр, по одній для кожного незвідного представлення. Кількість цих незвідних представлень при цьому рівна кількості класів спряженості групи. Якщо поле K має характеристику рівну нулю, але не є алгебрично замкнутим, наприклад, K є полем дійсних чи раціональних чисел, тоді групова алгебра K[G] є добутком матричних алгебр над деякими тілами над K. Доданки при цьому знову ж відповідають незвідним представленням групи G над K.
Нехай V — K[G]-підмодуль. Доведемо, що V є прямим доданком. Нехай — довільна K-лінійна проєкція K[G] на V. Розглянемо відображення задане як (зауважимо, що для можливості задання цього відображення критичним є те, що не є рівним нулю у полі K; це є наслідком умови на характеристику поля і порядок групи):
Тоді відображення є очевидно K-лінійним і відображає K[G] на V. Також для довільних маємо . Звідси для отримуємо , тобто відображення є тотожним на V. Крім того маємо
тому є також K[G]-лінійним. Отож є K[G]-лінійною проєкцією і тому . Тобто довільний підмодуль K[G] є прямим доданком, тож, K[G] є напівпростою алгеброю.
- Нехай — симетричній групі перестановок n елементів. Для цієї групи існує природне представлення у n-вимірному векторному просторі над довільним полем. Це відображення задане так: якщо — базис такого простору, то лінійний оператор для перестановки діє як .
- Очевидно, що одновимірний простір породжений вектором буде інваріантним щодо вказаного представлення. Його доповненням буде простір породжений векторами .
- Доведена теорема є у загальному випадку невірною для нескінченних груп. Прикладом може бути нескінченна циклічна група — адитивна група цілих чисел. Відображення , яке числу k ставить у відповідність матрицю , є двовимірним представленням цієї групи, оскільки . Одновимірний підпростір породжений вектором є інваріантним відносно всіх операторів , але для нього не знайдеться інваріантного доповнюючого підпростору, оскільки двовимірний простір V представлення не має ніяких інших підпросторів, інваріантних відносно . Справді, власні значення усіх матриць рівні 1 і всі власні вектори є колінеарними . Натомість для теореми існують узагальнення для деяких типів нескінченних груп, наприклад для компактних топологічних груп.
- Умова на характеристику поля K є необхідною. Більш того, якщо характеристика поля K ділить порядок групи G то K[G] не є напівпростою алгеброю.
- Для визначимо . Нехай . тоді I є K[G]-підмодулем. Доведемо, що для кожного нетривіального підмодуля V алгебри K[G], . Нехай V — деякий підмодуль, і нехай - довільний ненульовий елемент у V. Якщо, то відразу . В іншому випадку, нехай . Тоді , тож і , тож є ненульовим елементом I і V. Це доводить, що V не є прямий доповненням I для всіх V, тож K[G] не є напівпростою алгеброю.
- ↑ Maschke, Heinrich (22 липня 1898). Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen. Math. Ann. (German) . 50 (4): 492—498. doi:10.1007/BF01444297. JFM 29.0114.03. MR 1511011.
- ↑ Maschke, Heinrich (27 липня 1899). Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, в welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind. Math. Ann. (German) . 52 (2–3): 363—368. doi:10.1007/BF01476165. JFM 30.0131.01. MR 1511061.
- ↑ Fulton та Harris, Proposition 1.5.
- ↑ Serre, теорема 1.
- ↑ Fulton та Harris, Corollary 1.6.
- ↑ Serre, теорема 2.
- Пилипів В. М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). — Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008. — 156 с.
- Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8.
- James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
- Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.