Теорема Монтеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В комплексному аналізі теорема Монтеля — важливе твердження про сім'ї голоморфних функцій. Названа на честь французького математика Поля Монтеля. Теорема має важливі застосування в комплекснму аналізі, зокрема при доведенні теорема Рімана про відображення.

Твердження теореми

[ред. | ред. код]

Нехай — сім'я голоморфних функцій на відкритій підмножині . Якщо всі ці функції є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини існує дійсне число , таке що для всіх і всіх справедливою є нерівність

Тоді сім'я функцій є нормальною тобто з кожної послідовності функцій модна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на всіх компактних підмножинах в

Справедливим також є багатовимірний аналог теореми, де .

Порівняння з випадком дійсних функцій

[ред. | ред. код]

Твердження теореми є специфічним для випадку голоморфних функцій комплексної змінної. Їх аналоги для функцій дійсних змінних не є справедливими. Наприклад послідовність аналітичних функцій є обмеженою на проміжку проте для цієї послідовності немає навіть поточково збіжної підпослідовності.

Доведення

[ред. | ред. код]

Зафіксуємо компактну множину . Тепер виберемо трохи більшу компактну підмножину таку, що внутрішність містить . Тоді для деякого , для всіх точок таких що відрізок, що їх сполучає, повністю належить .

Оскільки є компактною множиною, то існує таке число , що якщо то круг Тоді, для всіх з інтегральної теореми Коші випливає нерівність:

Ці нерівності виконуються для всіх і .

Нехай тепер і зафіксуємо . Припустимо, що і — параметризація відрізка, що сполучає точки

Тоді

Зокрема сім'я є ріностепенево неперервною. Тому з теореми Асколі — Арцели випливає, що з кожної послідовності функцій можна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на .

Тепер виберемо послідовність компактних підмножин таких, що кожна множина в цій послідовності міститься у внутрішності наступної множини і об'єднання всіх множин дорівнює З попереднього для будь-якої послідовності функцій можна вибрати підпослідовність , що рівномірно збігається на множині . Продовжуючи можна вибрати підпослідовність , що рівномірно збігається на . Подібним чином можна визначити , що рівномірно збігається на множині .

Тепер можна визначити послідовність . Вона є підпослідовністю і рівномірно збігається на всіх підмножинах , а тому і на всіх компактних підмножинах в Це й завершує доведення теореми.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9