Теорема Наполеона

Теорема Наполеона стверджує, що якщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.

Цей трикутник називається трикутником Наполеона (зовнішнім чи внутрішнім). Різниця площ цих трикутників дорівнює площі початкового трикутника.

Теорему часто приписують Наполеону (1769-1821), хоча вона також згадувалася у публікації В. Рутерфорда The Ladies' Diary (1825) через чотири роки після смерті імператора.

Доведення

Побачити, що трикутник LMN рівносторонній, можна, якщо помітити, що MN переходить у CZ при обертанні на 30° за годинниковою стрілкою навколо A та гомотетії з коефіцієнтом √3 з тим же центром. Аналогічно LN переходить у CZ при обертанні на 30° проти годиникової стрілки навколо B та гомотетії з коефіцієнтом √3 з тим самим центром. Звідси MN = LN, аналогічно доводиться рівність ML = LN = MN.

Див. також

• Проблема Наполеона
• Теорема Тебо

Посилання

• Теорема Наполеона на MathPages
• Теорема та узагальнення
• Побудова
• Теорема Наполеона by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.