Теорема Наполеона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Зовнішній трикутник Наполеона
Внутрішній трикутник Наполеона

Теорема Наполеона ‒ теорема в геометрії трикутника, яка стверджує, що:

Якщо на кожній стороні довільного трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.

Правильний трикутник, отриманий таким чином, називається трикутником Наполеона (зовнішнім чи внутрішнім).

Різниця площ внутрішнього та зовнішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

Теорему часто приписують Наполеону Бонапа́рту (1769-1821), хоча вона також згадувалася у публікації В. Рутерфорда The Ladies' Diary[en] (1825) через чотири роки після смерті імператора.[1][2]

Доведення[ред. | ред. код]

Теорема Наполеона доведення

Так як на сторонах трикутника △ABC побудовані рівносторонні трикутники, то їх внутрішні кути дорівнюють 60°, а

Отже,

Оскільки

то та є подібними. З подібності трикутників, маємо:


Аналогічно показуємо, що та також подібні, і

Отже, Аналогічно доводиться, що значить рівносторонній.

Існує багато інших способів доведення цієї теореми, в тому числі синтетичний метод (безкоординатний)[3], тригонометричний[4], способи з використанням симетрії[5] та комплексних чисел[4].

Трикутники Наполеона[ред. | ред. код]

Нехай a, b, та c сторони початкового трикутника, а S - його площа. Тоді:

Площа внутрішнього трикутника Наполеона:[6]

Рівність досягається лише у випадку, коли початковий трикутник правильний.

Площа зовнішнього трикутника Наполеона[7]

Аналітично можна показати[4], що кожна з трьох сторін зовнішнього трикутника Наполеона має довжину

З цих рівностей видно, що різниця площ зовнішнього та внутрішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

Узагальнення[ред. | ред. код]

Для трикутників[ред. | ред. код]

  • Рівносторонні трикутники утворюються не лише центрами правильних трикутників, побудованих зовнішнім чином на сторонах довільного трикутника. Також рівносторонні трикутники утворюються будь-якими відповідними точками цих трикутників. [8]:стор.157.



Узагальнення на випадок подібних трикутників

Якщо подібні трикутники будь-якої форми побудовані на сторонах трикутника зовнішнім чином так, що кожен повернутий відносно попереднього (тобто трикутники в цілому мають майже однакову оріентацію), і будь-які три відповідні точки цих трикутників з'єднані, то підсумковий трикутник буде подібний до цих зовнішніх трикутників.

Для чотирикутників[ред. | ред. код]

Аналогом теореми Наполеона для паралелограма є перша теорема Тебо, яка узагальнюється до теореми ван Обеля для довільного чотирикутника, яка в свою чергу є частинним випадком теореми Петра-Дугласа-Неймана[en] [9].

Для багатокутників[ред. | ред. код]

Теорема Наполеона може бути узагальнена на випадок багатокутників.

Теорема Наполеона-Барлотті [10] :[ред. | ред. код]

Центри правильних n-кутників, побудованих над сторонами n-кутника P, утворюють правильний n-кутник тоді і тільки тоді, коли P є афінним образом правильного n-кутника.

Афінно-правильний n-кутник ‒ це багатокутник, в якому паралельні один одному ті ж сторони та діагоналі, ніби він був би правильним.

Наприклад, для чотирикутника ‒ це паралелограм, а для п'ятикутника ‒ такий п'ятикутник, у якому кожна діагональ паралельна відповідній (протилежній) стороні.

Теорему Петра–Дугласа–Неймана у застосуванні до п’ятикутника. П'ятикутник A0 дорівнює ABCDE. A1 ( = FGHIJ ) будується з кутом при вершині 72°, A2 ( = KLMNO ) з кутом при вершині 144° і A3 ( = PQRST ) з кутом при вершині 216°.

Теорема Петра -Дугласа-Неймана[ред. | ред. код]

Теорема Петра-Дугласа-Неймана[en] [9] стверджує, що:

Якщо на бічних сторонах довільного n-кутника побудувати рівнобедрені трикутники з кутами при вершинах , і цей процес повторити з n-кутником, утвореним вільними вершинами трикутників, але з іншим значенням k, і так далі, поки не будуть використані всі значення (у довільному порядку), тоді формується правильний n-кутник An-2, центроїд якого збігається з центроїдом .

Ще одна варіація Теореми Наполеона






Див. також[ред. | ред. код]


.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Weisstein, Eric W., Napoleon's Theorem, на сайті Wolfram.
  2. Grünbaum Branko, 2012.
  3. Coxeter and Greitzer, 1967, с. 60-63.
  4. а б в Napoleon's Theorem. www.mathpages.com. Процитовано 17 липня 2023. 
  5. Alexander Bogomolny[en]. Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs (англ.). Cut-the-knot. 
  6. Weisstein, Eric W. Inner Napoleon Triangle. mathworld.wolfram.com (англ.). 
  7. Weisstein, Eric W. Outer Napoleon Triangle. mathworld.wolfram.com (англ.). 
  8. а б Wells, D., 1991, с. 157.
  9. а б Weisstein, Eric W. Petr-Neumann-Douglas Theorem. MathWorld (англ.). 
  10. A. Barlotti, 1952, с. 182-185.

Джерела[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]