Теорема Наполеона
Теорема Наполеона ‒ теорема в геометрії трикутника, яка стверджує, що:
|
Правильний трикутник, отриманий таким чином, називається трикутником Наполеона (зовнішнім чи внутрішнім).
Різниця площ внутрішнього та зовнішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.
Теорему часто приписують Наполеону Бонапа́рту (1769-1821), хоча вона також згадувалася у публікації В. Рутерфорда The Ladies' Diary[en] (1825) через чотири роки після смерті імператора.[1][2]
Доведення[ред. | ред. код]
Так як на сторонах трикутника △ABC побудовані рівносторонні трикутники, то їх внутрішні кути дорівнюють 60°, а
Отже,
Оскільки
то та є подібними. З подібності трикутників, маємо:
Аналогічно показуємо, що та також подібні, і
Отже, Аналогічно доводиться, що значить рівносторонній.
Існує багато інших способів доведення цієї теореми, в тому числі синтетичний метод (безкоординатний)[3], тригонометричний[4], способи з використанням симетрії[5] та комплексних чисел[4].
Трикутники Наполеона[ред. | ред. код]
Нехай a, b, та c сторони початкового трикутника, а S - його площа. Тоді:
Площа внутрішнього трикутника Наполеона:[6]
Рівність досягається лише у випадку, коли початковий трикутник правильний.
Площа зовнішнього трикутника Наполеона[7]
Аналітично можна показати[4], що кожна з трьох сторін зовнішнього трикутника Наполеона має довжину
З цих рівностей видно, що різниця площ зовнішнього та внутрішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.
Узагальнення[ред. | ред. код]
Для трикутників[ред. | ред. код]
- Рівносторонні трикутники утворюються не лише центрами правильних трикутників, побудованих зовнішнім чином на сторонах довільного трикутника. Також рівносторонні трикутники утворюються будь-якими відповідними точками цих трикутників. [8] .
- Теорема Наполеона має гарне узагальнення на випадок подібних трикутників побудованих зовнішнім чином [8] :
|
Для чотирикутників[ред. | ред. код]
Аналогом теореми Наполеона для паралелограма є перша теорема Тебо, яка узагальнюється до теореми ван Обеля для довільного чотирикутника, яка в свою чергу є частинним випадком теореми Петра-Дугласа-Неймана[en] [9].
Для багатокутників[ред. | ред. код]
Теорема Наполеона може бути узагальнена на випадок багатокутників.
Теорема Наполеона-Барлотті [10] :[ред. | ред. код]
Центри правильних n-кутників, побудованих над сторонами n-кутника P, утворюють правильний n-кутник тоді і тільки тоді, коли P є афінним образом правильного n-кутника.
Афінно-правильний n-кутник ‒ це багатокутник, в якому паралельні один одному ті ж сторони та діагоналі, ніби він був би правильним.
Наприклад, для чотирикутника ‒ це паралелограм, а для п'ятикутника ‒ такий п'ятикутник, у якому кожна діагональ паралельна відповідній (протилежній) стороні.
-
Napoleon barlotti.svg Приклад п'ятикутника
-
Napoleon barlotti2.svg Приклад семикутника
-
Napoleon barlotti3.svg Приклад одинадцятикутника
Теорема Петра -Дугласа-Неймана[ред. | ред. код]
Теорема Петра-Дугласа-Неймана[en] [9] стверджує, що:
Якщо на бічних сторонах довільного n-кутника побудувати рівнобедрені трикутники з кутами при вершинах , і цей процес повторити з n-кутником, утвореним вільними вершинами трикутників, але з іншим значенням k, і так далі, поки не будуть використані всі значення (у довільному порядку), тоді формується правильний n-кутник An-2, центроїд якого збігається з центроїдом .
Див. також[ред. | ред. код]
.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Weisstein, Eric W., Napoleon's Theorem, на сайті Wolfram.
- ↑ Grünbaum Branko, 2012.
- ↑ Coxeter and Greitzer, 1967, с. 60-63.
- ↑ а б в Napoleon's Theorem. www.mathpages.com. Процитовано 17 липня 2023.
- ↑ Alexander Bogomolny[en]. Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs (англ.). Cut-the-knot.
- ↑ Weisstein, Eric W. Inner Napoleon Triangle. mathworld.wolfram.com (англ.).
- ↑ Weisstein, Eric W. Outer Napoleon Triangle. mathworld.wolfram.com (англ.).
- ↑ а б Wells, D., 1991, с. 157.
- ↑ а б Weisstein, Eric W. Petr-Neumann-Douglas Theorem. MathWorld (англ.).
- ↑ A. Barlotti, 1952, с. 182-185.
Джерела[ред. | ред. код]
- Grünbaum Branko. "Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem?" // American Mathematical Monthly. — 2012. — Вип. 6. — № 119. — С. 495–501. — DOI: .
- H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. — Mathematical Association of America, 1967. — Т. 19. — С. 193.
- Wells, D. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry". — London: Penguin, 1991. — С. 156-158. — ISBN 0-14-011813-6.
- A. Barlotti. "Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo" // Boll. Un. Mat. Ital.. — 1952. — Вип. 7. — № 3. — С. 182–185.
- Wetzel, John E. (April 1992). Converses of Napoleon's Theorem. The American Mathematical Monthly. 99 (4): 339–351. doi:10.2307/2324901. Zbl 1264.01010. Архів оригіналу за 29 квітня 2014.
Посилання[ред. | ред. код]
- Weisstein, Eric W. Теорема Наполеона(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Alexander Bogomolny[en], Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs, cut-the-knot.org (англ.)
- Теорема Наполеона на MathPages
- Теорема та узагальнення
- Побудова
- Теорема Наполеона by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |