Теорема Новікова про компактний шар

Теорема Новікова про компактний шар: Двовимірне шарування на тривимірному многовиді з універсальною накриваючою, що не можливо стягнути, має компактний шар.

Теорема Новікова про компактний шар на сфері $S^{3}$

Теорема: Гладке двовимірне шарування на сфері $S^{3}$ має компактний шар, дифеоморфний тору $T^{2}$ і обмежує область $D^{2}\times S^{1}$ із шаруванням Ріба.

Доведена С. П. Новіковим у 1964 році. До цього Шарль Ересманн висловив гіпотезу, що будь-яке гладке двовимірне шарування на $S^{3}$ має компактний шар, що було справедливо для всіх відомих тоді прикладів. Так, шарування Ріба має шар, який є тором $T^{2}$.

Теорема Новікова про компактний шар на довільному $M^{3}$

У 1965 році була доведена теорема про компактний шар для довільного многовиду $M^{3}$:

Теорема: Нехай на замкнутому многовиді $M^{3}$ із заданому на ньому гладкому двовимірному шаруванні $F$ виконується одна з умов:

1. фундаментальна група $\pi _{1}(M^{3})$ скінчена,
2. друга гомотопічна група $\pi _{2}(M^{3})\neq 0$,
3. існує замкнута трансверсаль, гомотопна нулю,
4. існує шар $L\in F$ такий, що відображення $\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$, індуковане включенням, має нетривіальне ядро.

Література

• С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225—255.[1]