Теорема Планшереля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теоремою Планшереля у гармонічному аналізі називається твердження про властивості функцій дійсної змінної і їх перетворень Фур'є. Теорема доведена швейцарським математиком Мішелем Планшерелем у 1910 році[1].

Твердження теореми[ред. | ред. код]

Якщо комплекснозначна функція f, визначена на множині дійсних чисел належить просторам і , тоді її перетворення Фур'є, яке є комплекснозначною функцією дійсної змінної, що визначається як:

теж є функцією із . До того ж виконується формула Планшереля — Персеваля:

де є двома функціями, що задовольняють вказані умови, а — їх перетвореннями Фур'є.

Зокрема:

.

Одержані таким чином функції утворюють щільну підмножину у і відображення із простору функцій можна продовжити до унітарного оператора на просторі .

Доведення формули Планшереля — Персеваля[ред. | ред. код]

У випадку коли належать деякому хорошому класу функцій, наприклад є функціями Шварца, можна дати просте доведення формули за допомогою оберненого перетворення Фур'є. У цьому випадку

і з властивостей комплексного спряження також

Тоді

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Plancherel, Michel (1910). Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 30 (1): 289–335. doi:10.1007/BF03014877. .

Див. також[ред. | ред. код]