Теорема Пойнтінга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Пойнтінга (англ. Poynting's theorem) — теорема, що описує закон збереження енергії електромагнітного поля. Теорема була доведена у 1884 році Джоном Генрі Пойнтінгом. Все зводиться до наступної формули:

,

Де S — вектор Пойнтінга, J — густина струму і E — електричне поле. Густина енергії ( — електрична стала,  — магнітна стала).

Теорема Пойнтінга в інтегральній формі:

,

де  — поверхня, що обмежуює об'єм .

У технічній літературі теорема зазвичай записується наступним чином ( — густина енергії):

,

где  — густина енергії електричного поля,  — густина енергії магнітного поля і  — потужність втрат Джоуля на одиницю об'єму.

Доведення[ред.ред. код]

Теорема може бути доведена з допомогою двох рівнянь Максвелла (для простоти вважаємо, що середовище — це вакуум (μ=1, ε=1); для загального випадку з довільним середовищем потрібно у формули до кожного ε0 і μ0 приписати ε і μ):

Домноживши дві частини рівняння на , отримаємо:

Розглянемо спочатку рівняння Максвелла-Ампера:

Домноживши дві частини рівняння на , отримаємо:

Віднявши перше рівняння з другого, отримаємо:

Нарешті:

Оскільки вектор Пойнтінга визначається как:

це рівнозначно:

Узагальнення[ред.ред. код]

Механічна енергія у теоремі визначається як

де u_m — кінетична енергія густини у системі. Вона може бути описана як сума кінетичної енергії частинок α

 — потік енергії, або «механічний вектор Пойнтінга»:

Рівняння неперервності енергії, або закон збереження енергії

Альтернативні форми[ред.ред. код]

Можна отримати й інші форми теореми Пойнтінга. Замість того щоб використовувати вектор потоку можна вибрати форму Авраама , форму Мінковського , або якусь іншу.