Теорема Помпею

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Помпе́ю — теорема в планіметрії, відкрита румунським математиком Дімітріе Помпею. Стверджує, що:

Для довільного рівностороннього трикутника та довільної точки в його площині відрізки , та є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

Доведення[ред. | ред. код]

Розглянемо поворот на 60° навколо точки C. Припустимо, що A переходить у B, а P переходить у P '. Тоді маємо , . Звідси трикутник PCP ' рівносторонній, тому . З рівності трикутників очевидно, що . Тому трикутник PBP ' має сторони, рівні PA, PB, PC, що й завершує доведення теореми.

Додатково, якщо P знаходиться на описаному колі трикутника, то PA, PB і PC утворюють вироджений трикутник.

Також теорема є прямим наслідком нерівності Птолемея.

Посилання[ред. | ред. код]