Теорема Радона — Нікодима

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай (X,\;\mathcal{F},\;\mu)простір з мірою і міра \mu \sigma-скінченна. Тоді якщо міра \nu\colon\mathcal{F} \to \R абсолютно неперервна відносно \mu (\nu \ll \mu), то існує вимірна функція f\colon X \to \R, така що

\nu(A) = \int\limits_{A} \! f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай \lambda,\;\mu,\;\nu\sigma-скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою (X,\;\mathcal{F}). Тоді якщо \mu \ll \lambda і \nu \ll \lambda, то
\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.
  • Нехай \nu \ll \mu \ll \lambda. Тоді
 \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda} \lambda - майже всюди.
  • Нехай \mu \ll \lambda і g\colon X \to \mathbb{R} — вимірна функція, інтегрована щодо міри \mu, то
 \int\limits_X\!g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X\!g(x)\,\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).
  • Нехай \mu \ll \nu і \nu \ll \mu. Тоді
 \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.
 {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Аналогічна теорема справедлива зарядів, тобто знакозмінних мір.

Припущення σ-скінченності[ред.ред. код]

У випадку якщо міра \mu не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру \mu, що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай \nuміра Лебега. \nu — абсолютно неперервна відносно \mu, оскільки єдина множина A нульової міри \mu — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

\nu(A) = \int_A f \, \mathrm{d} \mu

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

 0 = f(a)\,

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]