Теорема Радона — Нікодима

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай  — простір з мірою і міра -скінченна. Тоді якщо міра абсолютно неперервна відносно , то існує вимірна функція , така що

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Функція , існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри щодо міри . Пишуть:

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай  — -скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою . Тоді якщо і , то
  • Нехай . Тоді
 — майже всюди.
  • Нехай і  — вимірна функція, інтегрована щодо міри , то
  • Нехай і . Тоді
  • Нехай  — заряд. Тоді

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Аналогічна теорема справедлива зарядів, тобто знакозмінних мір.

Припущення σ-скінченності[ред.ред. код]

У випадку якщо міра не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру , що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай  — міра Лебега.  — абсолютно неперервна відносно , оскільки єдина множина A нульової міри  — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]