Теорема Рімана — Роха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Рімана — Роха — твердження в комплексному аналізі, що визначає розмірність векторного простору мероморфних функцій ріманової поверхні з нулями і полюсами визначених порядків в заданих точках поверхні. Названа на честь німецьких математиків Бернхарда Рімана і Ґустава Роха.

Допоміжні визначення[ред.ред. код]

Нехай X — компактна ріманова поверхня роду g. Групою дивізорів цієї поверхні називається вільна абелева група породжена точками X. Елементами є скінченні суми . Дивізор називається додатнім (позначається ), якщо всі . Також використовується позначення якщо . Порядок дивізора визначається як . Для мероморфної функції f визначеної в X можна визначити дивізор , де  — нулі і полюси функції f і , якщо  — нуль порядку a і , якщо  — полюс порядку a. Дивізори D для яких існує мероморфна функція f така, що називаються головними. Два дивізори називаються лінійно еквівалентними, якщо їх різниця є головним дивізором. Оскільки порядок довільного головного дивізора рівний нулю то можна говорити також про порядок класу лінійної еквівалентності дивізорів. Якщо  — диференційна мероморфна 1-форма на ній подібно до мероморфної функції можна задати дивізор. Оскільки то всі такі дивізори (канонічні дивізори) належать одному класу. Такі дивізори найчастіше позначаються K. Позначимо тепер

.

Дана множина є векторним простором над полем комплексних чисел. Його розмірність позначається .

Твердження теореми[ред.ред. код]

З використанням введених вище позначень твердження теореми для X — компактної ріманової поверхні роду g запишеться:

Література[ред.ред. код]