Теорема Сарда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Сарда, відома також як лема Сарда або теорема Морса—Сарда, одна з теорем математичного аналізу, яка стверджує, що образ множини критичних точок гладкої функції f, що діє з одного евклідового простору чи многовиду на інший, має Лебегову міру 0 — тобто, є нуль-множиною. Це означає, що він — «малий», в деякому сенсі.

Постановка[ред.ред. код]

Точніше, нехай f\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m є Ck, k разів неперервно диференційовною, де k ≥ max{nm+1, 1}. Нехай, далі, X  - множина критичних точок f, тобто, x в Rn, у яких матриця Якобі f має ранг < m. Тоді f(X) має Лебегову міру 0 в Rm.

Отож, хоча X сама може бути великою, її образ мусить бути малим: f може мати багато критичних точок (у області Rn), але має мало критичних значень (у цільовому просторі Rm).

Варіанти[ред.ред. код]

Існує багато варіантів цього твердження, що відіграє важливу роль у теорії особливостей, як і в інших галузях науки, наприклад, теорії катастроф. Випадок m = 1 був розглянутий Ентоні Морсом (Anthony P. Morse) у 1939, а загальний випадок Артуром Сардом (Arthur Sard) у 1942.

Версія для нескінченновимірних банахових многовидів була доведена Стівеном Смейлом.

Твердження теореми є досить сильним, і доведення включає складні аналітичні міркування. У топології воно часто використовується — скажімо, у теоремі Брауера та деяких застосуваннях теорії Морса — щоб використати слабший наслідок “не стале гладке відображення має деяке регулярне значення”, і часом “...тому також і регулярну точку”.

У 1965 Сард узагальнив теорему наступним чином: якщо f : M → N є Ck для k ≥ max{nm+1, 1} і якщо Ar ⊆ M це множина точок x ∈ M таких, що dfx має ранг не більший за r, то f(Ar) має розмірність Хаусдорфа щонайбільше r.

Джерела[ред.ред. код]

  • Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
  • Encyclopaedia of Mathematics Ed. Michiel Hazewinkel, CWI, Amsterdam
  • Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия,- М.:Наука,1987.