Теорема Сохоцького — Веєрштрасса

Теорема Сохоцького — Веєрштрасса (також теорема Казораті, теорема Казораті — Веєрштрасса) — теорема в комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної функції в околі істотно особливої точки. А саме відповідно до цієї теореми множина значень цієї функції в довільно малому околі істотно особливої точки є щільною множиною в множині комплексних чисел.

Вперше опублікована Казораті і Сохоцьким в 1868 році, згодом Веєрштрассом у 1876 році.

Значним посиленням теореми є велика теорема Пікара, згідно з якою множиною значень насправді є всі комплексні числа, за винятком можливо лише одного.

Твердження теореми

Нехай функція $f$ — голоморфна у відкритій множині $U\ \backslash \ \{z_{0}\}$ і в точці $z_{0}\in \mathbb {C}$ має істотно особливу точку. Тоді для будь-якого числа $A\in \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ можна знайти послідовність точок $z_{n}$ таких що $\lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}$ і також $\lim _{n\to \infty }f(z_{n})\to A.$ Іншими словами якщо ${\bar {D}}=D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$ — довільний проколотий круг з центром в точці $z_{0}$, що міститься в $U\ \backslash \ \{z_{0}\}$, то множина $f({\bar {D}})$ є щільною в множині комплексних чисел.

Доведення

Нехай спершу $A=\infty$. Оскільки функція $f$ не може бути обмеженою в довільному проколотому крузі $D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$ з центром в істотно особливій точці то в цьому крузі можна знайти точку $z_{1}$ в якій $|f(z_{1})|>1.$ У той же спосіб визначається існування числа $z_{2}\in D(z_{0},r/2)\setminus \{z_{0}\}$ для якого $|f(z_{2})|>2$ і загалом чисел $z_{n}\in D(z_{0},r/n)\setminus \{z_{0}\}$ для яких $|f(z_{n})|>n.$

Очевидно, що в цьому випадку $\lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}$ і також $\lim _{n\to \infty }f(z_{n})\to \infty .$

Нехай тепер $A\in \mathbb {C}$.

Якщо для кожного проколотого круга $D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$ існує така точка $z_{r}\in D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$ для якої $f(z_{r})=A$ то послідовність із твердження теореми можна визначити взявши $z_{n}=z_{r/n}.$ Тоді $f(z_{n})=A$ для всіх $n$ і $\lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}$.

Якщо ж в деякому проколотому крузі $D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$, що міститься в $U\ \backslash \ \{z_{0}\}$ функція $f(z)\neq A$ то можна визначити функцію:

$g(z)={\frac {1}{f(z)-A}}$

Вона буде голоморфною в $D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$ і матиме істотно особливу точку в $z_{0}.$ Тому з уже доведеного можна знайти послідовність точок $z_{n}\in D(z_{0},r)\setminus \{z_{0}\}$ таких що $\lim _{n\to \infty }z_{n}\to z_{0}$ і також $\lim _{n\to \infty }g(z_{n})\to \infty .$

Але тоді також:

$\lim _{n\to \infty }f(z_{n})=A+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{f(g_{n})}}=A,$

що завершує доведення теореми.

Див. також

• Суттєво особлива точка
• Теорема Пікара

Джерела

• Мельник Т. А. Курс лекцій з комплексного аналізу.