Теорема Фенхеля — Моро

Функція, яка не напівнеперервна знизу. За теоремою Фенхеля — Моро, ця функція не дорівнює своїй другій спряженій.

Теорема Фенхеля — Моро — необхідна і достатня умова того, що дійснозначна функція дорівнює своєму дворазовому опуклому спряженню. При цьому для будь-якої функції вірно, що $f^{**}\leqslant f$ .

Твердження можна розглядати як узагальнення теореми про біполяру. Її використовують у теорії двоїстості для доведення сильної двоїстості (через функцію збурень).

Для скінченного випадку теорему довів Вернер Фенхель 1949 року і для нескінченновимірного — Жан-Жак Моро 1960 року.

Твердження теореми

Нехай $(X,\tau )$ — гаусдорфів локально опуклий простір. Для будь-якої функції зі значеннями на розширеній числовій прямій $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ випливає, що $f=f^{**}$, де $f^{*}$ — опукле спряження до $f$ тоді й лише тоді, коли виконується одна з таких умов:

1. $f$ є власною опуклою функцією напівнеперервною знизу і опуклою функцією,
2. $f\equiv +\infty$, або
3. $f\equiv -\infty$.

У геометричному формулюванні теорема стверджує, що необхідною та достатньою умовою того, щоб надграфік функції був перетином надграфіків афінних функцій, є опуклість і замкнутість цієї функції.

Література

• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — № 6(144). — С. 51–116.
• Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
• Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. — ISBN 981-238-067-1.
• Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 103, вип. 1 (May). — DOI:10.2307/2047532.
• Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вип. 5.