Теорема Перрона — Фробеніуса

Теорема Перрона — Фробеніуса — теорема, що описує деякі властивості спектру додатних та невід'ємних квадратних матриць. Названа на честь німецьких математиків Оскара Перрона (який довів її для додатного випадку) і Георга Фробеніуса. Результати теореми використовуються у теорії ймовірностей (при дослідженні властивостей ланцюгів Маркова зі скінченною кількістю станів), математичній економіці (зокрема при дослідженні моделі Леонтьєва) та ін.

Твердження для додатних матриць

Нехай A — деяка додатна квадратна матриця, тобто $a_{ij}>0,\quad \forall i,j.$

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем менші від r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного зі строго додатними координатами.
• Виконуються нерівності:

$\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.$

Результати цього твердження залишаються в силі, якщо замість додатних матриць розглядати примітивні матриці, тобто такі деяка степінь яких є додатною матрицею.

Невід'ємні нерозкладні матриці

Матриця A розмірності n з невід'ємними елементами називається розкладною якщо вона задовольняє такі еквівалентні умови:

• Існує така підмножина $S\subset \{1,2,\ldots ,n\},$ що виконуються рівності: $a_{ij}=0\quad \forall i\in S,j\notin S$
• Деякою перестановкою рядків і стовпців матрицю можна привести до вигляду:

${\begin{bmatrix}B&0\\C&D\end{bmatrix}}$

де B і D — деякі квадратні матриці, 0 — нуль-матриця.

Якщо такої множини індексів S не існує (і матрицю не можна привести до вказаного виду), то матриця називається нерозкладною.

Іншими еквівалентними означеннями нерозкладних матриць є:

• $(I+A)^{n-1}>0$

де I — одинична матриця.

• Для будь-яких цілих чисел (i, j) таких що $1\leqslant i,j\leqslant n$ існує число $1\leqslant k\leqslant n,$ що виконується: $(A^{k})_{ij}>0$
• Нехай введено орієнтований граф вершини якого відповідають рядкам і стовпцям матриці і від вершини i до вершини j дуга йде тоді і тільки тоді, коли $a_{ij}>0.$ Тоді матриця A є нерозкладною тоді і тільки тоді, коли відповідний граф є сильно зв'язаним.

Твердження для невід'ємних нерозкладних матриць

Нехай A — деяка невід'ємна нерозкладна матриця.

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем не більші від цього числа r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного із невід'ємними координатами.
• Якщо r є одним із h власних значень рівних за модулем r то ці власні значення рівні усім кореням рівняння $\lambda ^{h}-r^{h}=0$ і відповідно кожне є простим коренем характеристичного рівняння.
• Виконуються нерівності:

$\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.$

Невід'ємні розкладні матриці

У випадку розкладних матриць згадане в теоремі власне число теж існує, проте воно не обов'язково має бути алгебраїчно простим, а відповідний вектор(вектори) можуть не бути додатними але є невід'ємними.

Див. також

• Стохастична матриця
• Ланцюги Маркова

Література

1. Пономаренко О. І.,Перестюк М. О.,Бурим В. М. Основи математичної економіки. — К.: Інформтехніка, 1995.
2. Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7
3. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990 (chapter 8).
4. A. Graham, Nonnegative Matrices and Applicable Topics in Linear Algebra, John Wiley&Sons, New York, 1987.
5. Henryk Minc, Nonnegative matrices, John Wiley&Sons, New York, 1988, ISBN 0-471-83966-3
6. C. Godsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001 (chapter 8).
7. A. Berman and R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, 1979. ISBN 0-12-092250-9