Теорема де Гуа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Тетраедр з прямокутною вершиною O

Теорема де Гуа — одне з узагальнень теореми Піфагора на старші розмірності. Висічемо з куба піраміду, відрізавши площиною одну з його вершин. Тоді для такої піраміди вірно наступне співвідношення: квадрат площі грані протилежної вершині куба (вершині при прямому куті) дорівнює сумі квадратів площ граней прилеглих до цього кута.

Іншими словами, якщо ми замінимо плоский прямий кут тривимірним, відрізки — гранями, а трикутник — пірамідою, то теорема знову виявиться вірною, але не для довжини сторін, а для площ граней отриманої піраміди. Існує узагальнення цієї теореми для N-вимірного простору.

Історія[ред. | ред. код]

У 1783 році теорема була опублікована за авторством Жан Поля де Гуа (1713-85), але приблизно в той же час, трохи більш загальне твердження було опубліковано іншим французьким математиком Tinseau d'Amondans (1746–1818). Однак ще раніше вона була відома Рене Декарту (1596–1650) і до нього Йогану Фульгаберу[en] (1580–1635), який, ймовірно, першим відкрив її у 1622 році[1][2].

Доведення теореми[ред. | ред. код]

Доказ 1
Доказ 2
Доказ 3

Теорема може бути доведена з формули Герона для площі трикутника і теореми Піфагора.

Узагальнення[ред. | ред. код]

Теорема Піфагора і теорема де Гуа є окремим випадком для (n = 2, 3) більш загальної теореми стосовно n-симплексів з прямокутним кутом. Це, в свою чергу, є окремим випадком ще більш загальної теореми, яка може бути сформульована наступним чином.[3]

Нехай P є k-вимірною площиною в (так, що ) і нехай C є компактною підмножиною P. Для будь-якої підмножини з точно k елементами, нехай буде ортогональною проекцією C на лінійну оболонку векторів , де і утворюють стандартний базис в . Тоді

де  — це k-вимірний об'єм C і сума береться по всім підмножинам з рівно k елементами.

Власно кажучи, це є передгільбертовою версією теореми Піфагора, застосованою до k-го зовнішнього ступеня n-вимірного Евклідову простору. Теорема де Гуа та ці узагальнення на n-симплекси з прямими кутами відповідають спеціальному випадку, коли k = n−1 та C є (n−1)-симплекс в з вершинами на координатних осях.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Weisstein, Eric W. de Gua's theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  2. Hans-Bert Knoop: Ausgewählte Kapitel zur Geschichte der Mathematik. Lecture Notes (University of Düsseldorf), p. 55 (§ 4 Pythagoreische n-Tupel, p. 50-65) (German)
  3. Theorem 9 of James G. Dowty (2014). Volumes of logistic regression models with applications to model selection. arXiv:1408.0881v3 [math.ST ]

Посилання[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

  • Kheyfits, Alexander (2004). The Theorem of Cosines for Pyramids. The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 35 (5): 385–388. JSTOR 4146849.  Доказ теореми де Гуа і узагальнення на довільні тетраедри і піраміди.