Теорема косинусів (сферична геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В сферичній тригонометрії, теорема косинусів (також відома як правило косинусів для сторін[1]) — формули відношення сторін і кутів сферичних трикутників, аналог теореми косинусів в тригонометрії на площині.

Сферичний трикутник

Нехай дана сфера з діаметром 1, сферичний трикутник на сфері визначається трьома великими колами, що поєднують три точки u , v і w на сфері (див. малюнок праворуч). Якщо довжини трьох сторін становлять a (від u' до v), b (від u до w) і c (від v до w), і кут навпроти c є C, тоді (перший) сферична теорема косинусів стверджує:[2][1]

\cos(c) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \cos(C). \,

Через те, що це одинична сфера, довжини a, b і c просто дорівнюють кутам (в радіанах) утвореним радіусами сфери проведеними до кінців відповідної сторони (для не одиничної сфери довжини сторін дорівнюють добутку дугового кута на радіус). В особливому випадку, коли C = \pi/2 , тоді \cos(C) =0 \, і ми отримуємо сферичний аналог теореми Піфагора:

\cos(c) = \cos(a) \cos(b). \,

Різновидом теореми косинусів, друга сферична теорема косинусів,[3] (також відома як правило косинусів для кутів[1]) стверджує:

\cos(A) = -\cos(B)\cos(C) + \sin(B)\sin(C)\cos(a) \,

де A та B це кути протилежні до сторін a і b, відповідно.

Для маленького сферичного трикутника, тобто для маленьких a, b і c, сферична теорема косинусів наближається до теореми косинусів на площині,

c^2 \approx a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) . \,\!

Помилка в цьому наближенні, може бути обчислена з ряду Тейлора для функцій косинуса та синуса, і становить:

O(c^4) + O(a^3 b) + O(a b^3) . \,\!

Доведення[ред.ред. код]

Доведення може бути побудоване наступним чином.[2] Нехай u, v, і w означають одиничні вектори з центру сфери до кутів трикутника. Тоді, довжини (кути) сторін задаються як скалярні добутки:

\cos(a) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}
\cos(b) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}
\cos(c) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}

Для отримання кута C, нам потрібен дотичні вектори ta і tb в u уздовж напрямків сторін a і b, відповідно. Наприклад, дотичний вектор ta це одиничний вектор перпендикулярний до u в площині u-v, напрямок якого задається компонентом v перпендикулярним до u. Це означає:

\mathbf{t}_a = \frac{\mathbf{v} - \mathbf{u} (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})}{\left| \mathbf{v} - \mathbf{u} (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \right|} = \frac{\mathbf{v} - \mathbf{u} \cos(a)}{\sin(a)}.

Аналогічно,

\mathbf{t}_b = \frac{\mathbf{w} - \mathbf{u} \cos(b)}{\sin(b)}.

Тоді кут C отримаємо як:

\cos(C) = \mathbf{t}_a \cdot \mathbf{t}_b = \frac{\cos(c) - \cos(a) \cos(b)}{\sin(a) \sin(b)}

звідки негайно отримуємо теорему косинусів.

Як наслідок легко отримати другу теорему косинусів.

Теорема синусів для тригранного кута[ред.ред. код]

 {\sin a \over  \sin A} = {\sin b\over \sin B} = { \sin c \over \sin C}.

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б в W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
  2. а б Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
  3. Reiman, István (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. с. 83.