Теорема про неявну функцію

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема про неявну функцію — загальна назва для теорем, що гарантують локальне існування і описують властивості неявної функції, тобто функції

,   ,

заданої рівнянням

,   .

Одновимірний випадок[ред.ред. код]

Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.

Якщо функція

тоді у деякому двовимірному проміжку , що є околом точки , і така неперервна функція , що для будь-якої точки

Звичайно додатково передбачається, що функція неперервно диференційовна, в цьому випадку умова монотонності випливає з того що , тут позначає часткову похідну по . Більш того, в цьому випадку, похідна функції може бути обчислена за формулою

Багатовимірний випадок[ред.ред. код]

Нехай і і -вимірні евклідові простори з фіксованими системами координат, точки яких відповідно і . Нехай відображає деякий окіл точки у простір і — координатні функції (від змінних ) відображення , тобто .

Припустимо, що і відображення — неперервно диференційовне в околі , а якобіан відображення не рівний нулю в точці , тобто визначник матриці не рівний нулю. Тоді існують околи і точок і відповідно в просторах і , причому , і єдине відображення , таке, що для всіх виконується тотожність . При цьому і відображення є раз неперервно диференційовним на . Якщо функція F є неперерфно диференційовною до порядку k в множині U×V, то такою ж є і функція f у множині U і виконується

.

Узагальнення[ред.ред. код]

Банахові простори[ред.ред. код]

Нехай , , банахові простори. Нехай відображення диференційовне за Фреше. Якщо , , і ізоморфізм банахових просторів і , тоді існують околи точки і точки і диференційовне за Фреше відображення , таке що і якщо і тільки якщо , для всіх .

Випадок не диференційовних функцій[1][ред.ред. код]

Розглянемо неперервне відображення таке що . Якщо існують відкриті околи і точок і , такі що для всіх , є локально бієктивним тоді існують околи і точок і , такі що, для всіх , рівняння

має єдиний розв'язок

,

де є неперервна функція з на .

Примітки[ред.ред. код]

  1. S. Kumagai, "An implicit function theorem: Comment," Journal of Optimization Theory and Applications, 31(2):285-288, June 1980.

Література[ред.ред. код]