Теорема про суму кутів трикутника

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Сума кутів трикутника або розгорнутому куту.

Теорема про суму кутів трикутника стверджує, що у евклідовому просторі сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Еквівалентні формулювання такі. Сума кутів трикутника дорівнює π радіан, розгорнутому куту, двом прямим кутам, або пів-оберту.

Довгий час було не відомо, чи буде в інших геометріях сума кутів відмінною. Пошук відповіді на це питання суттєво вплинув на математику у 19 столітті. Врешті-решт, було отримано позитивну відповідь: в інших просторах (геометріях) сума кутів трикутника може бути більше або менше, і сума кутів залежить від вибраного трикутника. Відмінність суми від 180° називається дефектом трикутника і використовується як характеристика геометрії простору.

Сума кутів у евклідовій геометрії[ред. | ред. код]

Для плаского многокутника в евклідовій площині сума кутів обчислюється за формулою

де  — кількість сторін багатокутника.

Приклади[ред. | ред. код]

Обчислимо суми кутів три-, чотири-, та п'ятикутника:

  • для трикутника ():
  • для чотирикутника ():
  • для п'ятикутника ():

Еквівалентні твердження[ред. | ред. код]

У евклідовій геометрії постулат про трикутник стверджує, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Це твердження еквівалентне постулату про паралельні прямі.[1] За умови, що виконуються аксіоми евклідової геометрії, наступні твердження є еквівалентними:[2]

  • Постулат про трикутник: Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.
  • Аксіома Плейфайєра[en]: Через точку, що не лежить на заданій прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.
  • Аксіома Прокла: Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних ліній, то вона повинна перетинати й іншу.[3]
  • Постулат рівновіддаленості: Паралельні прямі рівновіддалені (тобто, відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої одна й та ж сама).
  • Властивість площі трикутника: Площа трикутника може бути скільки завгодно великою.
  • Властивість трьох точок: Будь-які три точки лежать або на прямій або на колі.
  • Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.[1]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (вид. 2nd). с. 2147. ISBN 1-58488-347-2. «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem 
  2. Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. с. 161. ISBN 0-8050-7254-3. 
  3. Фактично, є твердженням, що відношення паралельності прямих є транзитивним відношенням.