Теорія Ремзі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Теорія Рамсея)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорія Ремзі — розділ математики, який вивчає умови, за яких у довільно сформованих математичних об'єктах зобов'язаний з'явитися певний порядок. Названа на честь Френка Ремзі.

Завдання теорії Ремзі зазвичай звучать у формі питання «скільки елементів має бути в деякому об'єкті, щоб гарантовано виконувалося задана умова чи існувала задана структура?». Найпростіший приклад:

  • Довести, що в будь-якій групі з 6 осіб, знайдуться троє людей, знайомих одне з одним, або троє людей, попарно незнайомих одне з одним.

Класичні результати

[ред. | ред. код]

Припустимо, наприклад, що ми знаємо, що кроликів розсаджено в кліток. Наскільки великим має бути щоб гарантовано в одній з кліток було принаймні 2 кроликів? Згідно з принципом Діріхле, якщо , то знайдеться клітка, в якій буде мінімум 2 кроликів. Теорія Ремзі узагальнює цей принцип.

Огляд результатів до 1990 р. дано в роботі[1].

Теорема Ремзі

[ред. | ред. код]
Докладніше: Теорема Ремзі

Сам Ремзі довів таку теорему:

Нехай дано числа . Тоді існує таке число , що, як би ми не пофарбували ребра повного графу на вершинах у кольорів, знайдеться або повний підграф 1-го кольору на вершинах, або повний підграф 2-го кольору на вершинах, … або повний підграф -го кольору на вершинах.[2]

Її було узагальнено на випадок гіперграфу.

Мінімальне число , за якого для заданого набору аргументів існує зазначене в теоремі розфарбування, називається числом Ремзі. Питання про значення чисел Ремзі за невеликим винятком залишається відкритим.

Схожа за формулюванням, але відрізняється доведенням теорема ван дер Вардена:

Для кожного набору чисел існує таке число , що, як би ми не пофарбували перші натуральних чисел кольорів, знайдеться або арифметична прогресія 1-го кольору довжини , або арифметична прогресія 2-го кольору довжини , …, або арифметична прогресія -го кольору довжини .[3]

Найменше таке число називається числом ван дер Вардена.

Замість множини натуральних чисел можна розглянути ґратку , а арифметичних прогресій — фігури в ній, гомотетичні даній, і твердження теореми залишиться правильним (узагальнена теорема ван дер Вардена).

Теорема Хейлса — Джеветта

[ред. | ред. код]

Для будь-яких чисел і можна знайти число таке, що якщо комірки -вимірного куба зі стороною довжини розфарбовано в кольорів, то існує хоча б одна лінія (лінією вважаються рядки, стовпці, деякі діагоналі) з одноколірних комірок.[4]

З цієї теореми випливає, що під час гри в багатовимірні хрестики-нулики при будь-якій довжині рядка та будь-якому числі гравців можна знайти таке число вимірів, що нічия буде неможлива.

Для будь-якого натурального , кожна достатньо велика множина точок у загальному положенні на площині має підмножину з точок, які є вершинами опуклого багатокутника.[5]

Згідно з гіпотезою Ердеша та Секереша про опуклі багатокутники число точок в загальному положенні, у яких обов'язково існує опуклий -кутник задається формулою:

для всіх

Вони ж довели, що у множині з меншим числом точок опуклий -кутник може не існувати.

Теорема Крута про одноколірний єгипетський дріб

[ред. | ред. код]

Для будь-якої розмальовки цілих чисел більших від в кольорів існує скінченна одноколірна підмножина цілих така, що

При цьому максимальний елемент, а отже й розмір множини обмежений показниковою функцією від зі сталою основою.

Цю гіпотезу Ердеша — Грема[ru] довів 2003 року Ернест Крут[en].

Особливості теорії

[ред. | ред. код]

Для результатів у рамках теорії Ремзі характерні дві властивості. По-перше, вони неконструктивні. Доводиться, що деяка структура існує, але не пропонується жодного способу її побудови, окрім прямого перебору. По-друге, щоби шукані структури існували, потрібно, щоб об'єкти, які їх містять, складалися з дуже великого числа елементів. Залежність числа елементів об'єкта від розміру структури зазвичай, принаймні, експоненціальна.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Graham, R.; Rothschild, B.; Spencer, J. H. (1990), Ramsey Theory (вид. 2nd), New York: John Wiley and Sons, ISBN 0-471-50046-1.
  2. Ramsey, F. P. (1930), On a problem of formal logic, Proc. London Math. Soc. Series 2, 30: 264—286, doi:10.1112/plms/s2-30.1.264
  3. van der Waerden, B. L. (1927). Beweis einer Baudetschen Vermutung. Nieuw. Arch. Wisk. 15: 212—216.
  4. Hales A., Jewett R. Regularity and positional games // Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), p. 222—229.
  5. Erdős, P.; Szekeres, G. (1935), A combinatorial problem in geometry, Compositio Math, 2: 463—470, архів оригіналу за 19 лютого 2019, процитовано 18 лютого 2019

Література

[ред. | ред. код]
  • Мартин Гарднер. Глава 17. Теория Рамсея // От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам = Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers / пер. с англ. Ю. А. Данилова. — М. : Мир, 1993. — С. 288—308. — 416 с. — 10 000 екз. — ISBN 5-03-001991-X.

Посилання

[ред. | ред. код]