Теорія збурень

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка

Принцип невизначеності
Вступ[en] · Історія[en]
Математичні основи[en]

Тео́рія збу́рень — метод розв'язку математичних задач. що базується на відомому розв'язку й розглядає відхилення від цього розв'язку пропорційними певному малому параметру.

Квантова механіка[ред.ред. код]

Метод збурень є одним із основних методів знаходження розв'язків квантово-механічних рівнянь руху, зокрема рівняння Шредингера. Розрізняють метод збурень для стаціонарного рівняння Шредингера й метод збурень для часового рівняння Шредінгера в тому випадку, коли збурення залежить від часу.

Теорія збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера[ред.ред. код]

Теорія збурень застосовується тоді, коли потрібно знайти власні значення й власні функції гамільтоніана

,

де  — гамільтоніан із відомим спектром,  — малий параметр,  — оператор збурення.

Для хвильових функції n-го стану незбуреного гамільтоніана та енергії стану справедливе співвідношення

Для знаходження розв'язку проводиться розклад хвильової функції в ряд Тейлора щодо малого параметру

.

Власні функції незбуреного гамільтоніана складають ортонормований базис, тому будь-яку хвильову функцію можна подати у вигляді

.

Таким чином, розклад в ряд Тейлора хвильової функції аналогічний розкладу коефіцієнтів :

Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану

.


У першому наближенні теорії збурень (коли враховуються лише лінійні по члени) енергія n-го стану отримує приріст

.

Зміна хвильової фунції визначається формулою

,

де  — власні значення незбуреного гамільтоніану , а


Ця зміна ортогональна початковій хвильовій функції .


У другому наближенні теорії збурень враховуються члени, пропорційні .

.


Очевидно, що поправка до енергії залишатиметься малою лише при умові, коли . Тобто, теорія збурень в поданому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не вироджені й не близькі між собою. Для систем із близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.

Теорія збурень вироджених рівнів[ред.ред. код]

Збурення зазвичай призводить до зняття виродження. Стани, які в незбуреному стані мали однакову енергію, при врахуванні збурення отримують різне значення енергії.

У випадку виродження існують власних функцій незбуреного гамільтоніана , що відповідають енергії

.

Будь-яка лінійна комбінація цих функцій теж є власною функцією незбуреного гамільтоніана. Шукаючи розв'язок збуреної задачі у виляді

де  — невизначені коефіцієнти, отримуємо в першому наближенні по малому параметру систему рівнянь на власні значення енергії

.

Відхилення отриманих значень енергії від положення n-го рівня незбуреної задачі пропорційне малому параметру. Визначаючи власні значення енергії можна одночасно знайти коефіцієнти , які визначають хвильові функції збурених станів.

У залежності від типу збурення зняття виродження може бути неповним.

Залежне від часу збурення[ред.ред. код]

Якщо збурення залежить від часу потрібно розв'язувати нестаціонарне рівняння Шредінгера

.

Функцію можна представити у вигляді розкладу по ортонормованій системі власних функцій гамільтоніана незбуреної задачі

.

Залежні від часу коефіцієнти розкладу повинні задовольняти систему рівнянь

.

де , а . Ця система рівнянь повністю еквівалентна рівнянню Шредінгера. Вважаючи малим параметром, розв'язок можна шукати у вигляді розкладу

.

Збираючи члени з однаковими степенями щодо , можна отримати ланцюжок рівняннь для наближених розв'язків

тощо.

В нульовому наближенні теорії збурень хвильова функція не змінюється. Припускаючи, що до збурення система знаходилася в одному з стаціонарних станів s, .

В першому наближенні теорії збурень

.

Таким чином, ймовірність того, що квантова система під дією збурення перейде із стану s в стан n задається формулою

Монохроматичне збудження[ред.ред. код]

Якщо збудження монохроматичне, тобто його можна представити у вигляді

,

то інтегрування можна виконати й отримати

Ймовірність переходу системи зі стану s в стан n має полюси при . При частотах зовнішнього збудження, які не збігаються з різницями енергій квантових станів, поділених на сталу Планка, ця ймовірність мала величина, що осцилює з часом. При збігу виникає явище резонансу і ймовірність переходу значно зростає.

При другим членом можна знехнувати, і тоді

.

При залежний від часу множник переходить у дельта-функцію Дірака, а ймовірність переходу за одиницю часу задається золотим правилом Фермі

.

Джерела[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.