Теорія збурень

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Тео́рія збу́рень — метод розв'язку математичних задач, що базується на відомому розв'язку й розглядає відхилення від цього розв'язку пропорційними певному малому параметру.

Квантова механіка[ред.ред. код]

Метод збурень є одним із основних методів знаходження розв'язків квантово-механічних рівнянь руху, зокрема рівняння Шредингера. Розрізняють метод збурень для стаціонарного рівняння Шредингера й метод збурень для часового рівняння Шредінгера в тому випадку, коли збурення залежить від часу.

Теорія збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера[ред.ред. код]

Теорія збурень застосовується тоді, коли потрібно знайти власні значення й власні функції гамільтоніана

 \hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{V} ,

де  H_0  — гамільтоніан із відомим спектром,  \lambda  — малий параметр,  \hat{V}  — оператор збурення.

Для хвильових функції  \psi_n^{(0)} n-го стану незбуреного гамільтоніана та енергії стану справедливе співвідношення

 \hat{H}_0 \psi_n^{(0)} = E_n^{(0)} \psi_n^{(0)}

Для знаходження розв'язку проводиться розклад хвильової функції в ряд Тейлора щодо малого параметру

 \psi = \psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)} + \lambda^2 \psi^{(2)} + \ldots  .

Власні функції незбуреного гамільтоніана складають ортонормований базис, тому будь-яку хвильову функцію можна подати у вигляді

 \psi = \sum_m c_n \psi_n^{(0)} .

Таким чином, розклад в ряд Тейлора хвильової функції аналогічний розкладу коефіцієнтів  c_n :

 c_n = c_n^{(0)} + \lambda c_n^{(1)} + \lambda^2 c_n^{(2)} + \ldots

Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану

 E = E^{(0)} + \lambda E^{(1)} + \lambda^2 E^{(2)} + \ldots
.


У першому наближенні теорії збурень (коли враховуються лише лінійні по  \lambda члени) енергія n-го стану отримує приріст

 E_n = E_{n}^{(0)} + \lambda\int \psi_{n}^{(0)*} \hat{V} \psi_{n}^{(0)} dV .

Зміна хвильової фунції визначається формулою

 \psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{V_{nm}}
{E_m^{(0)} - E_n^{(0)}} \psi_m^{(0)} ,

де  E_{m}^{(0)}  — власні значення незбуреного гамільтоніану  \hat{H}_0 , а

 V_{nm} = \int \psi_n^{(0)*} \hat{V} \psi_n^{(0)} dV


Ця зміна ортогональна початковій хвильовій функції  \psi_n^{(0)} .


У другому наближенні теорії збурень враховуються члени, пропорційні  \lambda^2 .

 E_{n}^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|V_{nm}|^2}{E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)}} .
 \psi_n^{(2)} = - \frac{1}{2} \sum_{m \neq n} 
\frac{V_{nm}V_{mn}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})^2} \psi_n^{(0)} 
+ \sum_{m \neq n} \left( \sum_{k \neq m}
 \frac{V_{nk} V_{km}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})(E_{n}^{(0)} - E_{k}^{(0)})} - 
\frac{V_{nm} V_{mm}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})^2}  
\right)   \psi_m^{(0)}


Очевидно, що поправка до енергії залишатиметься малою лише при умові, коли  \lambda V_{nm} \ll E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)} . Тобто, теорія збурень в поданому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не вироджені й не близькі між собою. Для систем із близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.

Теорія збурень вироджених рівнів[ред.ред. код]

Збурення зазвичай призводить до зняття виродження. Стани, які в незбуреному стані мали однакову енергію, при врахуванні збурення отримують різне значення енергії.

У випадку виродження існують власних функцій  \varphi_{n\alpha} незбуреного гамільтоніана \hat{H}_0 , що відповідають енергії  E_n^{(0)}

 \hat{H}_0 \varphi_{n\alpha} = E_n^{(0)} \varphi_{n\alpha} .

Будь-яка лінійна комбінація цих функцій теж є власною функцією незбуреного гамільтоніана. Шукаючи розв'язок збуреної задачі у виляді

 \psi_n = \sum_{\alpha} a_{n\alpha} \varphi_{n\alpha}

де  a_{n\alpha}  — невизначені коефіцієнти, отримуємо в першому наближенні по малому параметру \lambda систему рівнянь на власні значення енергії

 (E - E_n^{(0)}) a_{n\alpha} - \lambda \sum_\beta V_{n\alpha,n\beta} a_{n\beta} = 0 .

Відхилення отриманих значень енергії від положення n-го рівня незбуреної задачі пропорційне малому параметру. Визначаючи власні значення енергії можна одночасно знайти коефіцієнти  a_{n\alpha} , які визначають хвильові функції збурених станів.

У залежності від типу збурення зняття виродження може бути неповним.

Залежне від часу збурення[ред.ред. код]

Якщо збурення залежить від часу потрібно розв'язувати нестаціонарне рівняння Шредінгера

 i \hbar \frac{\partial \psi(t)}{\partial t} = ( \hat{H}_0 + \lambda\hat{V}(t))\psi(t) .

Функцію  \psi(t) можна представити у вигляді розкладу по ортонормованій системі власних функцій гамільтоніана незбуреної задачі  \hat{H}_0

 \psi(t) = \sum_n c_n(t)e^{-iE_nt/\hbar}\psi_n .

Залежні від часу коефіцієнти розкладу  c_n(t) повинні задовольняти систему рівнянь

 i\hbar \frac{dc_m}{dt} = \lambda\sum_n V_{mn}(t)e^{i\omega_{mn}t}c_n(t) .

де  \omega_{mn} = (E_m - E_n)/\hbar , а  V_{mn}(t) = \int \psi_m^* \hat{V}(t)\psi_n dV . Ця система рівнянь повністю еквівалентна рівнянню Шредінгера. Вважаючи  \lambda малим параметром, розв'язок можна шукати у вигляді розкладу

 c_n(t) = c_n^{(0)}(t) + \lambda c_n^{(1)}(t) + \lambda^2 c_n^{(2)}(t) + \ldots .

Збираючи члени з однаковими степенями щодо  \lambda , можна отримати ланцюжок рівняннь для наближених розв'язків

 i\hbar \frac{dc^{(0)}_m}{dt} = 0
 i\hbar \frac{dc^{(1)}_m}{dt} = \sum_n V_{mn} c_n^{(0)}(t) e^{i\omega_{mn}t}
 i\hbar \frac{dc^{(2)}_m}{dt} = \sum_n V_{mn} c_n^{(1)}(t) e^{i\omega_{mn}t}

тощо.

В нульовому наближенні теорії збурень хвильова функція не змінюється. Припускаючи, що до збурення система знаходилася в одному з стаціонарних станів s,  c_m^{(0)} = \delta_{ms}  .

В першому наближенні теорії збурень

 c_n^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t V_{ns}(t^\prime) e^{i\omega_{ns}t^\prime} dt^\prime .

Таким чином, ймовірність того, що квантова система під дією збурення перейде із стану s в стан n задається формулою

 |\lambda c_n^{(1)}(t)|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \left| \int_0^t \lambda V_{ns}(t^\prime)e^{i\omega_{ns}t^\prime} dt^\prime  \right|^2

Монохроматичне збудження[ред.ред. код]

Якщо збудження монохроматичне, тобто його можна представити у вигляді

 \lambda \hat{V}(t) = \hat{F}e^{-i\omega t} + \hat{F}^\dagger e^{i\omega t} ,

то інтегрування можна виконати й отримати

  |\lambda c_n^{(1)}(t)|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \left| F_{ns} \frac{1 - e^{i(\omega_{ns}- \omega)t}} {\omega_{ns} - \omega} + 
F^*_{ns} \frac{1-e^{i(\omega_{ns}+ \omega)t}}{\omega_{ns} + \omega} \right|

Ймовірність переходу системи зі стану s в стан n має полюси при  \omega = \pm \omega_{ns} . При частотах зовнішнього збудження, які не збігаються з різницями енергій квантових станів, поділених на сталу Планка, ця ймовірність мала величина, що осцилює з часом. При збігу виникає явище резонансу і ймовірність переходу значно зростає.

При  \omega_{ns} > 0 другим членом можна знехнувати, і тоді

 |\lambda c_n^{(1)}(t)|^2 = \frac{4}{\hbar^2} |F_{ns}|^2 \frac{\sin^2 \frac{(\omega_{ns} - \omega)t}{2}}{(\omega_{ns} - \omega)^2} .

При  t \rightarrow \infty залежний від часу множник переходить у дельта-функцію Дірака, а ймовірність переходу за одиницю часу задається золотим правилом Фермі

 P_{ns} = \frac{2\pi}{\hbar} |F_{ns}|^2 \delta(E_n - E_s + \hbar \omega) .

Джерела[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.