Теорія катастроф

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія катастроф — розділ прикладної математики, галузь теорії біфуркацій, важливий інструмент для дослідження динамічних систем; також — спеціальний розділ загальнішої теорії сингулярностей в геометрії.

Історія[ред.ред. код]

Основи теорії катастроф були закладені насамперед у працях американського тополога Гасслера Вітні (англ. Hassler Whitney) в 1955 році, в 1960-х цією теорією зайнявся французький математик і лауреат премії Філдса 1958 року Рене Том (англ. René Thom). Однак популярність ідеї Вітні та Тома придбали тільки завдяки декільком публікаціям Крістофера Зімана (англ. Christopher Zeeman), в 1970-х.

Елементарні катастрофи[ред.ред. код]

Теорія катастроф аналізує критичні точки (репетиції) потенціальної функції, тобто точки, де не тільки перша похідна функції дорівнює нулю, але й рівні нулю і похідні більш високого порядку. Динаміка розвитку таких точок може бути вивчена за допомогою розкладання потенціальної функції в ряд Тейлора за малих змін вхідних параметрів.

Якщо точки росту не є випадковими, а структурно стабільними, то ці точки існують як центри організації для особливих геометричних структур з низьким рівнем виродженості, з критичними параметрами (високим рівнем катастрофічності) в оточуючих їх областях фазового простору. Якщо потенціальна функція залежить від трьох або меншого числа активних змінних, і п'яти або менше активних параметрів, то в цьому випадку існує всього сім описаних узагальнених структур геометрій біфуркацій, яким можна приписати стандартні форми розкладу в ряд Тейлора, в які можна розкласти критичні точки за допомогою дифеоморфізму (гладкої трансформації, інверсія якої є теж гладкою). Сьогодні ці сім фундаментальних типів відомі під іменами, які їм дав Рене Том.

Функції з однією змінною:

  • Катастрофа типу Складка V = x3 + ax
  • Катастрофа типу Збірка V = x4 + ax2 + bx
  • Катастрофа типу Хвіст ластівки V = x5 + ax3 + bx2 + cx
  • Катастрофа типу Метелик V = x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx

Потенціальні функції з двома змінними:

  • Гіперболічна омбіліка V = x3 + y3 + axy + bx + cy
  • Еліптична омбіліка V = x3 / 3 − xy2 + a(x2 + y2) + bx + cy
  • Параболічна омбіліка V = yx2 + y4 + ax2 + by2 + cx + dy

Застосування теорії катастроф[ред.ред. код]

Створення і розвиток цієї частини математичного аналізу були пов'язані з широкими можливостями наочного аналізу деяких складних явищ, особливо тих, які зустрічаються при описі різних природних та соціальних явищ(веселка, каустика, стійкість складних систем, коливання і руйнування в будівельній механіці, поведінку в етологіі, моніторинг психічних порушень, спричинених радіацією[1] і навіть бунти у в'язницях).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Чепа М.-Л. А. Моніторинг психічних порушень, спричинених радіацією. — К.: Ін-т соціології НАНУ, 1998. — 140 с. — ISBN 966-020771-9

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Англійською мовою[ред.ред. код]

  • Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
  • Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.
  • Postle, Denis. Catastrophe Theory — Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
  • Poston, Tim and Stewart, Ian. Catastrophe Theory and Its Applications. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
  • Poston, T. and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X.
  • Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.
  • Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
  • Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3.
  • Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
  • Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978.
  • Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972–1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Російською мовою[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]