Теорія кілець

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорія кілець — розділ загальної алгебри, що вивчає властивості кілець — алгебраїчних структур із додаванням і множенням, схожими за поведінкою із додаванням і множенням чисел. Виділяється два розділи теорії кілець: вивчення комутативних і некомутативних кілець.

Комутативні кільця в цілому краще досліджені, вони є основним предметом вивчення комутативної алгебри, яка є важливою частиною сучасної математики, що забезпечує інструментальні засоби для розвитку алгебраїчної геометрії і алгебраїчної теорії чисел. Ці три теорії настільки тісно пов'язані, що не завжди можлива вказівка, до якої області відноситься той чи інший результат, наприклад,теорема Гільберта про нулі грає фундаментальну роль в алгебраїчній геометрії, але формулюється і доводиться в термінах комутативної алгебри. Інший приклад — велика теорема Ферма, яка формулюється в термінах елементарної арифметики (що є частиною комутативної алгебри), але її доведення використовує глибокі результати як алгебраїчної геометрії, так і алгебраїчної теорії чисел.

Поведінка некомутативних кілець є більш складною, досить довгий час їх теорія розвивалася незалежно від комутативної алгебри, однак в кінці XX століття з'явилася тенденція вибудовувати цю теорію більш геометричних чином, розглядаючи такі кільця як кільця функцій на (неіснуючих) «некомутативних просторах». Цей тренд зародився в 1980-х роках з появою некомутативної геометрії і відкриттям квантових груп, завдяки застосуванню методів цих теорій досягнуто краще розуміння некомутативних кілець, особливо некомутативних нетерових кілець[1].

Деякі ключові результати[ред. | ред. код]

Загальні для всіх кілець:


Примітки[ред. | ред. код]

  1. Goodearl, K. R., An introduction to noncommutative Noetherian rings, 1989.

Література[ред. | ред. код]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • История теории колец на MacTutor Archive (англ.)
  • R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6. 
  • Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. — ISBN 0-521-36086-2
  • Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
  • Judson, Thomas W. (1997). Abstract Algebra: Theory and Applications. Архів оригіналу за 2013-07-04. Процитовано 2019-05-08. 
  • McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. — ISBN 0-8218-2169-5