Теорія матриць

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорія матриць — розділ математики, що вивчає властивості і застосування матриць.

Історія[ред. | ред. код]

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Китайський текст «Математика в дев'яти книгах» (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання матриць для розв'язання системи рівнянь, включаючи поняття визначника, ще задовго до введення визначників японським математиком Такакадзу Секі (1683) та німецьким математиком Лейбніцем (1693). Габріель Крамер представив своє правило в 1750 році.

Поняття «матриці», яке вже не було похідним від поняття «визначник» з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін «матриця» першим став вживати Джеймс Джозеф Сильвестр, який розглядав матрицю, як об’єкт, що породжує сімейство мінорів (визначників менших матриць, утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці).

Вивчення визначників відбувалось в різних галузях математики:

...

Багато теорем доводили спочатку для матриць малих розмірів: теорема Гамільтона — Келі була доведена Келі тільки для матриць 2×2, а Гамільтоном для 4×4.

Фердинанд Ейзенштейн, Якобі, Леопольд Кронекер, Карл Веєрштрас, Вільям Ровен Гамільтон, Фердинанд Георг Фробеніус, Вільгельм Йордан.

...

Вивчення розділу «Теорія матриць»[ред. | ред. код]

Основні поняття[ред. | ред. код]

Квадратні матриці[ред. | ред. код]

Поворот відносно початку координат.

Квадратні матриці застосовують для опису лінійного перетворення векторного простору. Тому їх властивості доцільно вивчати знаючи теми: власний вектор та власне значення матриці із розділу лінійна алгебра.

Становлять інтерес такі квадратні матриці:

Також для квадратних матриць існують такі важливі характеристики як визначник та слід.

Прямокутні матриці[ред. | ред. код]

Система трьох рівнянь(3 площини) з трьома невідомими (3-мірність простіру). Розв'язком є точка перетину площин.

(Квадратних матриць це також стосується).

Прямокутні матриці застосовуються для розв'язку систем лінійних рівнянь.

Тому потрібно вивчити поняття:

Також для прямокутних матриць існує така важлива характеристика як ранг.

Блочні матриці[ред. | ред. код]

Застосування в аналітичній геометрії[ред. | ред. код]

Для аналітичної геометрії використовуються такі ортогональні матриці:

Застосування в теорії графів[ред. | ред. код]

Застосування в цифровій обробці сигналів (DSP)[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М. : Физматлит, 2010. — 560 с.
  • Голуб Дж., ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М. : Мир, 1999. — 548 с.
  • Ланкастер П. Теория матриц. — М. : Наука, 1982. — 272 с.