Теорія пластин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Режим коливань затисненої квадратної пластини

В механіці суцільних середовищ, теорія пластин є математичним описом механіки плоских пластин, яка спирається на теорію балок. Пластини визначаються як площинні структурні елементи з невеликою товщиною порівняно з іншими вимірами.[1] Типове відношення товщини до ширини пластини є меншим, ніж 0.1. Теорія пластин використовує перевагу у геометрії для зведення  повної задачі тривимірної механіки деформівного твердого тіла до двовимірної задачі. Метою теорії пластин є обчислення деформацій і напружень у навантаженій пластині.

З численних теорій пластин, які були розроблені в кінці 19 століття, дві широко прийняті і використовуються в машинобудуванні. Це

  • теорія пластин Кірхофа-Лове(класична теорія пластин)
  • теорія пластин Міндліна–Рейсснера (теорія зсуву пластин першого порядку)

Теорія тонких пластин Кірхгофа- Лове[ред.ред. код]

Деформації тонкої пластини. Виділені переміщення серединної поверхні (червоним) і нормалі до серединної поверхні (синім)

Теорія Кірхгофа - Лове є розширенням теорії балки Ейлера–Бернуллі на тонкі пластини. Теорія була розроблена в 1888 році Лове[2] з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом. Передбачається, що серединну поверхню площини можна використати для представленняя тривимірної пластини в двовимірному вигляді.

Такиі кінематичі припущення було прийнято у цій теорії:[3]

  • прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
  • прямі лінії, нормальні до серединної поверхні, залишаються нормальними до серединної поверхні після деформації
  • товщина пластини не змінюється впродовж деформації.

Переміщення[ред.ред. код]

Гіпотеза Кірхгофа припускає, що зміщення має вигляд

де і   - декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, координата, яка характеризує товщину, - площинні переміщення серединної поверхні,  - переміщення серединної поверхні в напрямку . Якщо кути повороту нормалі до серединної поверхні, тоді у теорії  Кірхгофа–Лове

Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями[ред.ред. код]

Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно малі і повороти нормалі до серединної поверхні становить менше 10°, справедливими є такі співвідношення: 

Звідси лише ненульові деформації існують в  напрямі площини.

Якщо кути повороту нормалі до серединної поверхні в діапазоні від 10° до 15°, співвідношення між деформаціями і переміщеннями можна апроксимувати використовуючи зсуву відносини можуть бути апроксимовані за допомогою напруження Кармана. Тоді кінематичні припущення теорії Кірхгофа-Лове приводить до таких співвідношень між деформаціями і переміщеннями

Ця теорія є нелінійною через квадратичні умови співвідношень між деформаціями і переміщеннями.

Рівняння рівноваги[ред.ред. код]

Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини незначні, рівняння рівноваги для ненавантаженої плити матимуть вигляд

де значення напруження і моментів напругження визначаються як

і товщина плити .  Величина  .

Якщо існує зовнішнє навантаження на пластину   по нормалі до серединної поверхні і спрямоване у додатньому  напрямі, принцип віртуальної роботи приводить до рівнянь рівноваги

Граничні умови[ред.ред. код]

Граничні умови, які необхідні, щоб розв'язати рівняння рівноваги теорії пластин, можуть бути отримані з крайових умов принципу віртуальної роботи.

Для малих деформацій і малих оборотів, граничні умови

Слід зауважити, що величина  є ефективною поперечною силою.

Рівняння напруги–деформації[ред.ред. код]

Рівняння напруженя–деформації для лінійної пружної пластини Кірхгофа задано як

Оскільки  і  відсутні у рівннях рівноваги, передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на баланс системи і тому ними нехтують.

Зручніше працювати з результантами напруженя і моменту, які входять в рівняння рівноваги. Вони пов'язані з переміщеннями 

і

Поздовжня жорсткість - це величини

Жорсткість при згині визначається формулою

Ізотропна та однорідна пластина Кірхгофа[ред.ред. код]

Для ізотропної та однорідної пластини, рівнння напружено–деформованого стану

Моменти, що відповідають цим напруженням є

Чистий згин[ред.ред. код]

Переміщення і дорівнюють нулю при умові чистого згину. Для ізотропної, однорідної пластини при чистому згині основним рівнянням є

Індексний запис

У прямих тензорних позначеннях, основним рівнянням є

Поперечне навантаження[ред.ред. код]

Для поперечно навантаженої пластини без осьових деформацій, що основне рівняння матиме вигляд

де

Індексний запис

і прямий запис

У циліндричних координатах ,  основне рівняння запишеться як

Ортотропна і однорідна пластина Кірхгофа[ред.ред. код]

Для ортотропної пластини

Звідси,

і

Поперечне навантаження[ред.ред. код]

Основним рівняння ортотропної пластини Кірхгофа з розподіленим поперечним нвантаженням  на одиницю площі є

де

Динаміка тонких пластин Кірхгофа[ред.ред. код]

Динамічної теорії пластин визначає поширення хвиль в пластинах, а вивчення стоячих хвиль і режимів вібрації.

Основні рівняння[ред.ред. код]

Основними рівняннями динаміки пластин Кірхгофа-Лове є

де, для пластини з густиною ,

і

На малюнках нижче показано коливання круглої пластини.

Ізотропні пластини[ред.ред. код]

Основні рівняння істотно спрощені для ізотропних і однорідних пластин, у яких деформаціями у площині можна знехтувати: 

де  - жорсткість згину пластини. Для однорідної пластини товщиною ,

У прямому записі

Теорія Міндліна–Рейсснера для товстих пластин[ред.ред. код]

В теорії товстих плит, або теорії Раймонд Міндліна[4] і Ерік Рейснера, нормаль до серединної поверхні залишається прямою, але не обов'язково перпендикулярно до серединної поверхні. Якщо і  - кути між серединною поверхнею і віссю 

Тоді матиме місце гіпотеза Міндліна–Рейсснера:

Залежність між деформаціями і переміщеннями[ред.ред. код]

В залежності від кількості обертання нормалей пластини, дві різні апроксимації для напружень можуть бути отримані з основних  кінематичних припущень.

Для малих деформацій і малих оборотів, відношення між деформаціями і переміщеннями для пластин Міндліна–Рейсснера запишеться у вигляді

Поперечною деформацією, а отже, і напругою зсуву по товщині пластини не нехтують в цій теорії. Однак поперечна деформація є постійною по всій товщині плити. Це не може точним, оскільки поперечна напруга вважається параболічного навіть для пластин з простою геометрією. Для врахування неточності в поперечних деформаціях, а  поперечний коригувальний коефіцієнт () застосовується так, що правильна кількість внутрішньої енергії передбачається теоретично. Тоді

Рівняння рівноваги[ред.ред. код]

Рівняння рівноваги мають трохи різні форми залежно від передбачуваної величини згину пластини. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини є малими, рівняння рівноваги для пластини Міндліна–Рейсснера 

Рівнодіючі поперечні сил в наведених вище рівняннях визначаються як

Крайові умови[ред.ред. код]

Граничні умови позначаються у термінах граничних умов принципу віртуальної роботи.

Якщо єдиною зовнішньою силою є вертикальна сила на верхній поверхні пластини, граничні умови

Визначальні співвідношення[ред.ред. код]

Рівняння напруження–деформації для лінійної пружної пластини Міндліна–Рейсснера можна подати у вигляді

Оскільки відсутнє у рівнянні рівноваги, неявно припускається, що воно не має ніякого впливу на баланс системи і ним можна знехтувати знехтувати. Це припущення називається припущенням щодо площинного напруження. Рівняння, що залишились для ортотропного матеріалу у матричній формі можна записати як

Тоді,

і

У термінах поперечного зміщення

Поздовжня жорсткість - це величина

Жорсткість при згині визначається як

Ізотропної та однорідної пластини Міндліна–Рейсснера [ред.ред. код]

Для рівномірно щільної, однорідної і ізотропної пластини, відношення напруги і деформації у площині пластини можна подати у вигляді

де - модуль Юнга, - коефіцієнт Пуассона і деформації у площині. Поперечні напруження  і деформації по товщині  пластини пов'язані рівняннями

where is the shear modulus.

Визначальні співвідношення[ред.ред. код]

Співвідношення між результуючим напруженням і узагальненими переміщеннями для ізотропної пластини Міндліна–Рейсснера:

і

Жорсткість при згині визначається як 

Для плити товщиною , жорсткість при згині обчислюють за формулою

де H=Н/2

Основні рівняння[ред.ред. код]

Якщо знехтувати розширенням пластини у площині, основні рівння приймуть вигляд

У термінах узагальнених деформацій , три основні рівняння

Граничні умови уздовж країв прямокутної пластини

Теорія Рейсснера–Штайна для ізотропних консольних пластин[ред.ред. код]

Загалом, точні розв'язки для консольної пластини з використанням теорії пластин використовуються і можуть бути взяті з літератури. Рейснер і Штайн[5] запропонували спрощену теорію для консольних пластин, що є поліпшенням у порівнянні з більш старими теоріями, як, наприклад, теорія пластин Сен-Венана.

Теорія Рейсснера-Штайна передбачає, що поперечний зсув можна подати у вигляді

Основні рівняння для пластини зводяться до звичайних диференціальних рівнянь:

де

В оскільки балка защемлена, граничні умови

Крайові умови у  

де

Посилання[ред.ред. код]

  1. Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S. "Theory of plates and shells".
  2. A. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
  3. Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.
  4. R. D. Mindlin, Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates, Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 p. 31–38.
  5. E. Reissner and M. Stein.

Зовнішні посилання[ред.ред. код]