Теорія потенціалу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорія потенціалу — розділ математики і математичної фізики, присвячений вивченню властивостей диференціальних рівнянь в частинних похідних в областях з досить гладкою границею за допомогою введення спеціальних видів інтегралів, залежних від певних параметрів, які називаються потенціалами.

Абстрактна теорія потенціалу — узагальнення теорії потенціалу на абстрактні топологічні простори; як основа абстрактної теорії використовується поняття гармонійного простору — довільного топологічного простору, забезпеченого пучком неперервних дійснозначних функцій, що мають (зафіксовані аксіоматично) властивості, характерні для гармонічних функцій.

Історія[ред. | ред. код]

Спочатку була створена як частина небесної механіки, що вивчає властивості сил тяжіння, що діють відповідно до закону всесвітнього тяжіння. Основний внесок у створення і початковий розвиток теорії внесли Ньютон, Лагранж, Лежандр, Лаплас. Зокрема, Лагранж показав, що поле сил тяжіння є потенційним.

Починаючи з Гауса метод потенціалів почав застосовуватися також для задач електростатики і магнетизму, як потенціалу стали розглядатися «маси» (заряди, намагніченість) довільного знака. В рамках розвитку теорії в XIX столітті виділилися основні крайові задачі: задача Діріхле, задача Неймана, задача Робена, задача про вимітання мас. Значний внесок у вивчення основних крайових задач наприкінці XIX століття внесли Ляпунов і Стєклов.

Результати теорії істотно узагальнені на початку XX століття з використанням апарату теорії міри і узагальнених функцій. Згодом в теорії потенціалів задіяні аналітичні, гармонічні і субгармонічні функції, інструментарій теорії ймовірностей.

У 1950-ті роки на основі методів топології і функціонального аналізу розроблена аксіоматична абстрактна теорія потенціалів.

Основні види потенціалів[ред. | ред. код]

Нехай S — гладка замкнута поверхня, тобто (n-1)-вимірний гладкий многовид без краю, в n-вимірному евклідовому просторі який обмежує скінченна область , , і нехай — зовнішня нескінченна область. Позначимо:

головний фундаментальний розв'язок рівняння Лапласа в де — відстань між точками евклідового простору, — площа одиничної сфери в гамма-функція.

Три інтеграла, що залежать від параметра x:

де — напрямок зовнішньої щодо нормалі до S в точці y, називаються відповідно об'ємним потенціалом, потенціалом простого шару і потенціалом подвійного шару. Функції називаються щільностями відповідних потенціалів. Вони вважатимуться абсолютно інтегровними на відповідних областях.

При n = 3 (а іноді і при вищих значеннях) дані потенціали називаються ньютоновими потенціалами, при n = 2 — логарифмічними потенціалами.

Властивості[ред. | ред. код]

Об'ємний потенціал[ред. | ред. код]

Нехай належить класу . Тоді об'ємний потенціал і його похідні 1-го порядку неперервні усюди в і їх можна обчислити за допомогою диференціювання під знаком інтеграла, тобто Окрім того виконується рівність:

Похідні 2-го порядку є неперервними всюди поза S, але при переході через поверхню S вони зазнають розрив, і до того ж в області задовольняється рівняння Пуассона а в рівняння Лапласа

Перераховані властивості характеризують об'ємний потенціал.

Якщо є обмеженою областю в з границею класу то справедливою є формула:

Потенціал простого шару[ред. | ред. код]

Нехай Тоді потенціал простого шару є гармонічною функцією для і також

Зокрема при але у випадку це справедливо тоді і тільки тоді, коли

Потенціал простого шару є неперервним всюди в також і його дотичні похідні неперервні при переході через поверхню S. Нормальна похідна потенціалу простого шару при переході через поверхню здійснює стрибок:

Через тут позначено так зване пряме значення нормальної похідної потенціалу простого шару, обчислене на поверхні S, тобто

Визначена таким чином функція є неперервною для а ядро має слабку особливість на S:

Перераховані властивості характеризують потенціал простого шару.

Потенціал подвійного шару[ред. | ред. код]

Нехай Тоді потенціал простого шару є гармонічною функцією для і також

Потенціал подвійного шару при переході через поверхню S здійснює стрибок:

Через тут позначено так зване пряме значення потенціалу подвійного шару на поверхні S, тобто

Визначена таким чином функція є неперервною для а ядро має слабку особливість на S:

Дотичні похідні теж здійснюють стрибок при переході через поверхню S, натомість нормальна похідна є неперервною при переході через поверхню S.

Перераховані властивості характеризують потенціал подвійного шару.

У випадку сталої щільності , справедливою є формула:

Узагальнення[ред. | ред. код]

Потенціал міри[ред. | ред. код]

Нехай — додатна міра Бореля на просторі з компактним носієм Потенціал міри визначається як інтеграл:

Потенціал міри існує всюди в як відображення при і при і є супергармонічною функцією всюди в що є гармонічною поза

Для міри довільного знака з компактним носієм, потенціал визначається, виходячи з канонічного розкладу , у вигляді Тоді за визначенням У тих точках, де обидва потенціали приймають нескінченні значення, цей потенціал є невизначеним.

Якщо міра зосереджена на гладкій поверхні S, можна визначити і потенціал подвійного шару міри:

Потенціал міри є скінченним усюди в за винятком точок полярної множини, множини зовнішньої ємності нуль. Якщо всюди, крім множини зовнішньої ємності нуль, то .

Якщо міра зосереджена на множині ємності нуль, то . Справджується наступний принцип максимуму:

Якщо звуження на є неперервним (в узагальненому сенсі) в точці , то потенціал є неперервним в точці в

Потенціали міри зводяться до потенціалів щільності , тоді і тільки тоді, коли міра є абсолютно неперервною по мірі Лебега відповідно на G чи на S.

Потенціал узагальненої функції[ред. | ред. код]

Якщо Tузагальнена функція, або розподіл, в то потенціал розподілу визначається як згортка , що є також узагальнено. функцією. Наприклад, якщо T — фінітна узагальнена функція, то в в сенсі узагальнених функцій виконується рівняння Пуассона:

Потенціали мір можна розглядати як окремий випадок потенціалів розподілів.

Застосування[ред. | ред. код]

Вираження функцій через суми потенціалів[ред. | ред. код]

Нехай функція де S — гладка поверхня класу

Тоді ця функція в області G рівна сумі об'ємного потенціалу і потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:

Нехай функція де S — гладка поверхня класу і є гармонічною в області G.

Тоді ця функція в області G рівна сумі потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:

Внутрішня задача Діріхле[ред. | ред. код]

Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції

Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу подвійного шару

де щільність є єдиним розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

Внутрішня задача Неймана[ред. | ред. код]

Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові для деякої неперервної на S функції що задовольняє необхідну умову ортогональності

Розв'язок цієї задачі з точністю до константи можна записати у виді потенціалу простого шару

де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

Відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок а загальний розв'язок неоднорідного може бути записаним як де c — довільна константа.

Зовнішня задача Діріхле[ред. | ред. код]

Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:

Розв'язок цієї задачі завжди існує є єдиним і його можна записати у виді:

де A є константою, а щільність потенціалу є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

Зовнішня задача Неймана[ред. | ред. код]

Знайти гармонічну в функцію де ( позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові для деякої неперервної на S функції При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:

При розв'язок цієї задачі існує і є єдиним, для розв'язок (єдиний з точністю до додавання константи) існує лише коли

Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу простого шару

де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

При розв'язок цього рівняння існує і є єдиним. Для відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок а при виконанні необхідних умов неоднорідне рівняння має єдиний розв'язок для якого

Тоді загальний розв'язок можна записати як де c — довільна константа.

Посилання[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953
  • Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966
  • S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey (2001). Harmonic Function Theory (2nd edition). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95218-7.