Тессаріни

таблиця множення

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	k	1	i
k	−j	i	−1

Тессаріни (англ. tessarines, від грец. τεσσαρίνες — четвірні) — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду $\ a+bi+cj+dk,$ де

$\ a,b,c,d$ — дійсні числа,

$\ i,j,k$ — уявні одиниці.

для яких виконується

$ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.$

Тессарін можна записати у вигляді $\ (a+bi)+(c+di)j=A+Bj,$ де

$\ A,B$— комплексні числа.

Історія

Введені в 1848 Джеймсом Коклі в статтях до Philosophical Magazine.

Тесаріни більш відомі через іх підалгебру дійсних тесарінів $t=a+bj\$, відомих під назвою подвійних чисел.

Властивості

• комутативність
• асоціативність

Ізоморфізм з бікомплексними числами

Перепозначивши:

${\begin{matrix}i_{1}&\to &i\\i_{2}&\to &k\\j&\to &-j\end{matrix}}$

Отримаємо бікомплексні числа.

Діагональний базис

В тессарінів, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця $\ j^{2}=+1,$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

$e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},$

які можна використати як альтернативний базис:

$\ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\tilde {A}}$ чи ${\tilde {B}}$ рівні нулю.