Тест Левене

У статистиці, Тест Левене — це статистика, яку використовують для оцінювання рівності дисперсій декількох вибірок. Він перевіряє нульову гіпотезу про рівність дисперсій вибірок (гомогенність дисперсії, або гомоскедастичність). Якщо p-значення тесту Левене менше певного критичного значення (зазвичай 0,05 або 0,01), то наявну різницю дисперсій вважають статистично значущою. Тому нульову гіпотезу про рівність дисперсій всіх вибірок відкидають і роблять висновок, що їх дисперсії є різними.

До процедур, що вимагають припущення про гомогенність дисперсії, належать дисперсійний аналіз та t-критерій Стьюдента. Однією з переваг тесту Левене є те, що цей тест не вимагає нормального розподілу досліджуваних вибірок.

Тест часто використовується перед порівнянням математичних сподівань.

Формальна специфікація

Тест Левене використовують для перевірки нульової гіпотези $H_{0}$ проти альтернативної гіпотези $H_{1}$.

$H_{0}:\ \ \sigma _{1}=\sigma _{2}=\dots =\sigma _{k}\ \ \ vs\ \ \ H_{1}:\sigma _{i}\neq \sigma _{j}$ принаймні для однієї пари $(i,\ j)$.

Тестова статистика визначена наступним чином:

$W={\frac {(N-k)}{(k-1)}}{\frac {\sum _{i=1}^{k}N_{i}(Z_{i\cdot }-Z_{\cdot \cdot })^{2}}{\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{N_{i}}(Z_{ij}-Z_{i\cdot })^{2}}},$

де

• $W$ — значення Статистики,
• $k$ — кількість різних груп до яких належать вибірки,
• $N$ — загальна кількість спостережень,
• $N_{i}$ — кількість спостережень в $i$-й групі,
• $Y_{ij}$ — значення $j$-го спостереження $i$-ї групи,
• $Z_{ij}=\left\{{\begin{matrix}|Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i\cdot }|\\|Y_{ij}-{\tilde {Y}}_{i\cdot }|\end{matrix}}\right.$

Тут ${\bar {Y}}_{i\cdot }$ — математичне сподівання i-ї групи, а ${\tilde {Y}}_{i\cdot }$ — медіана i-ї групи. (Обидва означення використовуються, хоча друге означення насправді Тест Брауна-Форсі)

• $Z_{\cdot \cdot }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{N_{i}}Z_{ij}$ математичне сподівання всіх $Z_{ij}$,
• $Z_{i\cdot }={\frac {1}{N_{i}}}\sum _{j=1}^{N_{i}}Z_{ij}$ математичне сподівання $Z_{ij}$ для групи з номером $i$.

Значущість статистики $W$ тестують використовуючи $F(\alpha ,k-1,N-k)$ (квантиль рівня $\alpha$ розподілу Фішера), де $F$ — квантиль розподілу фішера, з $k-1$ і $N-k$ ступенями свободи, $\alpha$ — обраний рівень надійності тесту (зазвичай 0.05 чи 0.01).