Тета-функції — цілі функції комплексної змінної (можливо залежні від додаткових параметрів), що є квазідвоперіодичними, тобто крім періоду
ω
{\displaystyle \omega }
ω
τ
{\displaystyle \omega \tau }
Особливо велике значення мають тета-функції Якобі — чотири тета-функції залежні від параметра
τ
{\displaystyle \tau }
еліптичних функцій , модулярних форм і інших.
Загальні тета-функції [ ред. | ред. код ] Тета-функцією
θ
(
z
)
{\displaystyle \theta (z)}
θ
(
z
+
ω
)
=
θ
(
z
)
,
θ
(
z
+
ω
τ
)
=
ϕ
(
z
)
θ
(
z
)
.
{\displaystyle \theta (z+\omega )=\theta (z),\;\;\theta (z+\omega \tau )=\phi (z)\theta (z).}
Як періодична ціла функція,
θ
(
z
)
{\displaystyle \theta (z)}
θ
(
z
)
=
∑
n
∈
Z
c
n
exp
(
2
π
i
n
ω
)
.
{\displaystyle \theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\exp \left({\frac {2\pi in}{\omega }}\right).}
Дані ряди називаються тета-рядами .
На практиці найважливішими є мультиплікатори виду
ϕ
(
z
)
=
q
exp
(
2
π
i
k
z
)
,
{\displaystyle \phi (z)=q\exp(2\pi ikz),}
де k — натуральне число, що називається порядком або вагою тета-функції, q — числовий множник .
Основна тета-функція Якобі [ ред. | ред. код ] Основною тета-функцією Якобі називається функція двох комплексних змінних , що за означенням рівна
ϑ
(
z
,
τ
)
:=
∑
n
=
−
∞
∞
e
π
i
n
2
τ
+
2
π
i
n
z
{\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}}
Даний ряд є нормально збіжним на множині
C
×
H
{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} }
H
=
{
z
∈
C
|
ℑ
(
z
)
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} |\Im (z)>0\}}
τ
∈
H
{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }
ϑ
(
⋅
,
τ
)
{\displaystyle \vartheta (\cdot ,\tau )}
цілою функцією , для всіх
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
ϑ
(
z
,
⋅
)
{\displaystyle \vartheta (z,\cdot )}
голоморфною на множині
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
Інші тета-функції Якобі [ ред. | ред. код ] Через основну тета-функцію Якобі можна ввести ще три тета-функції:
ϑ
0
(
z
,
τ
)
:=
ϑ
0
,
1
(
z
,
τ
)
:=
ϑ
(
z
+
1
2
,
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
⋅
e
π
i
n
2
τ
+
2
π
i
n
z
{\displaystyle \vartheta _{0}(z,\tau ):=\vartheta _{0,1}(z,\tau ):=\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\cdot e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}}
ϑ
2
(
z
,
τ
)
:=
ϑ
1
,
0
(
z
,
τ
)
:=
e
π
i
τ
4
+
π
i
z
⋅
ϑ
(
z
+
τ
2
,
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
π
i
(
n
+
1
2
)
2
τ
+
2
π
i
(
n
+
1
2
)
z
{\displaystyle \vartheta _{2}(z,\tau ):=\vartheta _{1,0}(z,\tau ):=e^{\pi i{\frac {\tau }{4}}+\pi iz}\cdot \vartheta \left(z+{\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}}
ϑ
1
(
z
,
τ
)
:=
ϑ
1
,
1
(
z
,
τ
)
:=
e
π
i
τ
4
+
π
i
(
z
+
1
2
)
⋅
ϑ
(
z
+
τ
+
1
2
,
τ
)
=
i
⋅
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
⋅
e
π
i
(
n
+
1
2
)
2
τ
+
2
π
i
(
n
+
1
2
)
z
{\displaystyle \vartheta _{1}(z,\tau ):=\vartheta _{1,1}(z,\tau ):=e^{\pi i{\frac {\tau }{4}}+\pi i\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\cdot \vartheta \left(z+{\frac {\tau +1}{2}},\tau \right)=i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\cdot e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}}
В цих позначеннях
ϑ
(
z
,
τ
)
:=
ϑ
3
(
z
,
τ
)
:=
ϑ
0
,
0
(
z
,
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\vartheta _{3}(z,\tau ):=\vartheta _{0,0}(z,\tau )}
Для значення
z
=
0
{\displaystyle z=0}
ϑ
(
τ
)
:=
ϑ
(
0
,
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
π
i
n
2
τ
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
e
π
i
n
2
τ
{\displaystyle \vartheta (\tau ):=\vartheta (0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }}
Означення за допомогою ному [ ред. | ред. код ] Означення тета-функцій можна дати не лише в термінах змінних z і τ , але і в змінних w і нома q , де w = e πiz q = e πiτ
ϑ
00
(
w
,
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
w
2
)
n
q
n
2
ϑ
01
(
w
,
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
(
w
2
)
n
q
n
2
ϑ
10
(
w
,
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
w
2
)
n
+
1
2
q
(
n
+
1
2
)
2
ϑ
11
(
w
,
q
)
=
i
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
(
w
2
)
n
+
1
2
q
(
n
+
1
2
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}
Ці фомули можна використати для означень тета-функцій в полях де експоненційне відображення може не бути всюди визначеним, наприклад в полях p-адичних чисел .
Періодичність і квазіперіодичність [ ред. | ред. код ] Для фіксованого τ тета-функції Якобі є періодичними з періодами 1 або 2 і квазіперіодичними щодо періоду τ , а саме для всіх
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
ϑ
00
(
z
±
1
;
τ
)
=
ϑ
00
(
z
;
τ
)
,
ϑ
00
(
z
±
τ
;
τ
)
=
exp
(
−
π
i
τ
∓
2
π
i
z
)
ϑ
00
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta _{00}(z\pm 1;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{00}(z\pm \tau ;\tau )=\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{00}(z;\tau ).}
ϑ
01
(
z
±
1
;
τ
)
=
ϑ
01
(
z
;
τ
)
,
ϑ
01
(
z
±
τ
;
τ
)
=
−
exp
(
−
π
i
τ
∓
2
π
i
z
)
ϑ
01
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta _{01}(z\pm 1;\tau )=\vartheta _{01}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{01}(z\pm \tau ;\tau )=-\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{01}(z;\tau ).}
ϑ
10
(
z
±
1
;
τ
)
=
−
ϑ
10
(
z
;
τ
)
,
ϑ
10
(
z
±
τ
;
τ
)
=
exp
(
−
π
i
τ
∓
2
π
i
z
)
ϑ
10
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta _{10}(z\pm 1;\tau )=-\vartheta _{10}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{10}(z\pm \tau ;\tau )=\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{10}(z;\tau ).}
ϑ
11
(
z
±
1
;
τ
)
=
−
ϑ
11
(
z
;
τ
)
,
ϑ
11
(
z
±
τ
;
τ
)
=
−
exp
(
−
π
i
τ
∓
2
π
i
z
)
ϑ
11
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta _{11}(z\pm 1;\tau )=-\vartheta _{11}(z;\tau ),\;\;\;\vartheta _{11}(z\pm \tau ;\tau )=-\exp \left(-\pi i\tau \mp 2\pi iz\right)\,\vartheta _{11}(z;\tau ).}
Тобто для фіксованого τ тета-функції Якобі є тета-функціями, згідно означення загальної тета-функції.
Інтегральні представлення [ ред. | ред. код ] Для тета-функцій Якобі справедливими є інтегральні представлення:
ϑ
00
(
z
;
τ
)
=
−
i
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
+
π
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
;
ϑ
01
(
z
;
τ
)
=
−
i
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
)
sin
(
π
u
)
d
u
;
ϑ
10
(
z
;
τ
)
=
−
i
e
i
z
+
1
4
i
π
τ
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
+
π
u
+
π
τ
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
;
ϑ
11
(
z
;
τ
)
=
e
i
z
+
1
4
i
π
τ
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
+
π
τ
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}
Нулі тета-функцій Якобі [ ред. | ред. код ] Для фіксованого τ тета-функції Якобі:
ϑ
00
(
z
,
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
+
1
2
+
τ
2
ϑ
11
(
z
,
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
ϑ
10
(
z
,
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
+
1
2
ϑ
01
(
z
,
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
+
τ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}
де m , n — довільні цілі числа .
Рівності Якобі визначають поведінку тета-функцій Якобі під впливом дії модулярної групи , породженої перетвореннями τ ↦ τ + 1τ ↦ −1 τ τ має такий же ефект на значення функції, як додавання 1 2 z .
Для визначення впливу другого перетворення позначимо
α
=
(
−
i
τ
)
1
2
exp
(
π
τ
i
z
2
)
.
{\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}
Тоді
ϑ
00
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
00
(
z
;
τ
)
ϑ
01
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
10
(
z
;
τ
)
ϑ
10
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
01
(
z
;
τ
)
ϑ
11
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
−
i
α
ϑ
11
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}
Формула добутку
ϑ
00
(
z
;
τ
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
exp
(
2
m
π
i
τ
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
+
2
π
i
z
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
−
2
π
i
z
)
)
.
{\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}
Всі тета-функції Якобі задовольняють диференціальному рівнянню
∂
∂
t
ϑ
(
x
,
i
t
)
=
1
4
π
∂
2
∂
x
2
ϑ
(
x
,
i
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).}
Зв'язок з еліптичною функцією Вейєрштраса
℘
(
z
;
τ
)
=
−
(
log
ϑ
11
(
z
;
τ
)
)
″
+
c
{\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}
z і константа c вибирається так щоб розклад ℘(z ) в ряд Лорана в точці z = 0
Зв'язок з дзета функцією Рімана :
Γ
(
s
2
)
π
−
s
2
ζ
(
s
)
=
1
2
∫
0
∞
(
ϑ
00
(
0
;
i
t
)
−
1
)
t
s
2
d
t
t
.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta _{00}(0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}.}
Зв'язок з ета функцією Дедекінда. Нехай η (τ )
ϑ
10
(
0
;
τ
)
=
2
η
2
(
2
τ
)
η
(
τ
)
,
ϑ
00
(
0
;
τ
)
=
η
5
(
τ
)
η
2
(
1
2
τ
)
η
2
(
2
τ
)
=
η
2
(
1
2
(
τ
+
1
)
)
η
(
τ
+
1
)
,
ϑ
01
(
0
;
τ
)
=
η
2
(
1
2
τ
)
η
(
τ
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}
ϑ
10
(
0
;
τ
)
ϑ
00
(
0
;
τ
)
ϑ
01
(
0
;
τ
)
=
2
η
3
(
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta _{10}(0;\tau )\,\vartheta _{00}(0;\tau )\,\vartheta _{01}(0;\tau )=2\eta ^{3}(\tau ).}
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions ISBN 0-486-61272-4 Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elements of the Theory of Elliptic Functions . AMS Translations of Mathematical Monographs. Т. 79. Providence, RI: AMS. ISBN 0-8218-4532-2 Bellman, Richard (1961). A Brief Introduction to Theta Functions Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1959). An Introduction to the Theory of Numbers (вид. 4th). Oxford: Clarendon Press. Mumford, David (1983). Tata Lectures on Theta I ISBN 3-7643-3109-7 Rauch, Harry E.; Farkas, Hershel M. (1974). Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces ISBN 0-683-07196-3 Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (вид. 4th). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db65827472877657a7aa66887c63a13ecd71483a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64804e9cd7ac2b0dbe01eb172d0eaeb0289601a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8a7fc67fd6d672baf39c26addc314877ead716)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38521d263e968c6643113cb856744c3d8417638)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5c40f971e936d98f88a6f5283304e698c5488a)
