Тета-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Тета-функції — цілі функції комплексної змінної (можливо залежні від додаткових параметрів), що є квазідвоперіодичними, тобто крім періоду мають ще так званий квазіперіод при додаванні якого до значення аргументу значення функції множиться на деякий мультиплікатор.

Особливо велике значення мають тета-функції Якобі — чотири тета-функції залежні від параметра , що використовуються в теорії еліптичних функцій, модулярних форм і інших.

Загальні тета-функції[ред. | ред. код]

Тета-функцією називається функція, що задовольняє властивості:

Як періодична ціла функція, завжди рівна сумі ряду:

Дані ряди називаються тета-рядами.

На практиці найважливішими є мультиплікатори виду

де k — натуральне число, що називається порядком або вагою тета-функції, q — числовий множник.

Тета-функції Якобі[ред. | ред. код]

Основна тета-функція Якобі[ред. | ред. код]

Основною тета-функцією Якобі називається функція двох комплексних змінних, що за означенням рівна

Даний ряд є нормально збіжним на множині , де є верхньою комплексною напівплощиною. Для всіх функція є цілою функцією, для всіх функція є голоморфною на множині .

Інші тета-функції Якобі[ред. | ред. код]

Через основну тета-функцію Якобі можна ввести ще три тета-функції:

В цих позначеннях .

Тета-константи[ред. | ред. код]

Для значення , отримаємо функції визначені на верхній комплексній напівплощині, які також називаються тета-константами.

Означення за допомогою ному[ред. | ред. код]

Означення тета-функцій можна дати не лише в термінах змінних z і τ, але і в змінних w і нома q, де w = eπiz і q = eπ. В цих змінних функції рівні

Ці фомули можна використати для означень тета-функцій в полях де експоненційне відображення може не бути всюди визначеним, наприклад в полях p-адичних чисел.

Властивості[ред. | ред. код]

Періодичність і квазіперіодичність[ред. | ред. код]

Для фіксованого τ тета-функції Якобі є періодичними з періодами 1 або 2 і квазіперіодичними щодо періоду τ, а саме для всіх виконуються рівності:

Тобто для фіксованого τ тета-функції Якобі є тета-функціями, згідно означення загальної тета-функції.

Інтегральні представлення[ред. | ред. код]

Для тета-функцій Якобі справедливими є інтегральні представлення:

Нулі тета-функцій Якобі[ред. | ред. код]

Для фіксованого τ тета-функції Якобі:

де m, n — довільні цілі числа.

Рівності Якобі[ред. | ред. код]

Рівності Якобі визначають поведінку тета-функцій Якобі під впливом дії модулярної групи, породженої перетвореннями ττ + 1 і τ ↦ −1τ. Рівняння для першого перетворення утворюються з врахуванням того, що додавання 1 до τ має такий же ефект на значення функції, як додавання 12 до z.

Для визначення впливу другого перетворення позначимо

Тоді

Інші властивості[ред. | ред. код]

  • Формула добутку
  • Всі тета-функції Якобі задовольняють диференціальному рівнянню
  • Зв'язок з еліптичною функцією Вейєрштраса , де похідні є щодо змінної z і константа c вибирається так щоб розклад ℘(z) в ряд Лорана в точці z = 0 мав нульовий доданок нульового степеня.
  • Зв'язок з дзета функцією Рімана:
  • Зв'язок з ета функцією Дедекінда. Нехай η(τ) — ета функцією Дедекінда. Тоді
    і,

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. sec. 16.27ff. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs 79. Providence, RI: AMS. ISBN 0-8218-4532-2. 
  • Bellman, Richard (1961). A Brief Introduction to Theta Functions. Selected Topics in Mathematics. New York: Holt, Rinehart and Winston. 
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1959). An Introduction to the Theory of Numbers (вид. 4th). Oxford: Clarendon Press. 
  • Mumford, David (1983). Tata Lectures on Theta I. Boston: Birkhauser. ISBN 3-7643-3109-7. 
  • Rauch, Harry E.; Farkas, Hershel M. (1974). Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. Baltimore: Williams & Wilkins. ISBN 0-683-07196-3. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (вид. 4th). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21.