Тетраедричні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Піраміда з довжиною сторони 5 містить 35 сфер. Кожний шар є одним з перших п'яти трикутних чисел.

Тетраедричне число — це фігурне число, яке представляє правильний тетраедр — піраміду, в основі якої лежить правильний трикутник.

Приклад кількох перших тетраедричних чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (Послідовність A000292 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел)

Формула[ред.ред. код]

Формула для -ого тетраедричного числа:

Також формула може бути виражена через біноміальні коефіцієнти:

Тетраедричні числа знаходяться на 4-й позиції в трикутнику Паскаля.

Властивості[ред.ред. код]

  • -те тетраедричне число є сумою перших трикутних чисел.
  • Тільки три тетраедричних числа є квадратами:
    T1 = 1² = 1
    T2 = 2² = 4
    T48 = 140² = 19600.
  • П'ять чисел є трикутними (Послідовність A027568 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел):
    Te1 = Tr1 = 1
    Te3 = Tr4 = 10
    Te8 = Tr15 = 120
    Te20 = Tr55 = 1540
    Te34 = Tr119 = 7140
  • Єдиним пірамідальним числом, що одночасно є квадратом і кубом, є число 1.
  • Можно помітити, що:
    T5 = T4 + T3 + T2 + T1.
  • Нескінченна сума обернених чисел до тетраедричних чисел дорівнює 3/2, що може бути отримано за допомогою телескопічного ряду:

Посилання[ред.ред. код]