Тотожності Ньютона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці тотожності Ньютона, також відомі як формули Ньютона-Жирара, задають співвідношення між двома типами симетричних многочленів , а саме між симетричним многочленом суми степеневого ряду та елементарним симетриченим многочленом. Для монічного многочлену P вони дають можливість знайти суму k-тих степенів всіх коренів P (з урахуванням кратності) виражену через коефіцієнти P, без фактичного знаходження цих коренів. Ці тотожності були відкриті Ісааком Ньютоном близько 1666 року, і можливо, в ранніх робітах (1629) Альберта Жирара. Вони знаходять застосування в багатьох областях математики, в тому числі теорії Галуа, теорії інваріантів, теорії груп, комбінаторики, а також в інших науках, в тому числі в загальній теорії відносності.

Математичні твердження[ред.ред. код]

Формулювання з допомогою симетричних поліномів[ред.ред. код]

Нехай x1,…, xn будуть змінними, для k ≥ 1 позначимо суму k-тих степенів цього ряду як pk(x1,…,xn)  :

і для k ≥ 0 позначимо ek(x1,…,xn) елементарний симетричний поліном (многочлен) який являє собою суму всіх можливих різних добутків k різних змінних, зокрема

Тоді тотожності Ньютона можуть бути записані наступним чином

для всіх k ≥ 1. Для кількох перших значень k отримаємо: