Тотожності Ньютона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці тотожності Ньютона, також відомі як формули Ньютона-Жирара, задають співвідношення між двома типами симетричних многочленів , а саме між симетричним многочленом суми степеневого ряду та елементарним симетриченим многочленом. Для монічного многочлену P вони дають можливість знайти суму k-тих степенів всіх коренів P (з урахуванням кратності) виражену через коефіцієнти P, без фактичного знаходження цих коренів. Ці тотожності були відкриті Ісааком Ньютоном близько 1666 року, і можливо, в ранніх робітах (1629) Альберта Жирара. Вони знаходять застосування в багатьох областях математики, в тому числі теорії Галуа, теорії інваріантів, теорії груп, комбінаторики, а також в інших науках, в тому числі в загальній теорії відносності.

Математичні твердження[ред.ред. код]

Формулювання з допомогою симетричних поліномів[ред.ред. код]

Нехай x1,…, xn будуть змінними, для k ≥ 1 позначимо суму k-тих степенів цього ряду як pk(x1,…,xn)  :

і для k ≥ 0 позначимо ek(x1,…,xn) елементарний симетричний многочлен, який являє собою суму всіх можливих різних добутків k різних змінних, зокрема

Тоді тотожності Ньютона можна записати так

для всіх k ≥ 1. Для кількох перших значень k отримаємо:

Форма і правильність цих рівнянь не залежить від кількості змінних (хоча після ї тотожності лівий бік дорівнює нулю), що дозволяє записати їх як тотожності у кільці симетричних функцій. У цьому кільці маємо

і т.д.; тут лівий бік ніколи не стає нулем. Ці рівняння дозволяють виразити ei через pk; також можна

Загалом, ми маємо

виконується для всіх n ≥ 1 і k ≥ 1.

Також маємо

для всіх k > n ≥ 1.

Застосування до коренів многочлена[ред.ред. код]

Многочлен з коренями xi можна записати як

де коефіцієнти це симетричні многочлени означені вище.

Посилання[ред.ред. код]