Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Тотожність (в математиці ) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}
(
a
−
b
−
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
a
b
−
2
a
c
+
2
b
c
{\displaystyle (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc}
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4
⋅
a
3
⋅
b
+
6
⋅
a
2
⋅
b
2
+
4
⋅
a
⋅
b
3
+
b
4
{\displaystyle \left(a+b\right)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}}
a
:
b
d
=
a
d
b
{\displaystyle a:{\frac {b}{d}}={\frac {ad}{b}}}
a
⋅
c
d
=
a
c
d
{\displaystyle a\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{d}}}
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4
⋅
a
3
⋅
b
+
6
⋅
a
2
⋅
b
2
+
4
⋅
a
⋅
b
3
+
b
4
{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}}
тощо.
Рівність
x
+
2
=
5
{\displaystyle x+2=5}
x
{\displaystyle x}
x
=
3
{\displaystyle x=3}
рівнянням
25
2
=
625
{\displaystyle 25^{2}=625}
Тотожність часто позначається символом «≡ »
Формули скороченого множення [ ред. | ред. код ] Квадрат суми (різниці):
(
a
±
b
)
2
=
a
2
±
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
Різниця квадратів:
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
Куб суми (різниці):
(
a
±
b
)
3
=
a
3
±
3
a
2
b
+
3
a
b
2
±
b
3
{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
Сума (різниця) кубів:
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
Многочлени
(
a
+
b
±
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
±
2
a
c
±
2
b
c
{\displaystyle (a+b\pm c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\pm 2ac\pm 2bc}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
[1] Пропорція
2
a
a
−
1
=
10
a
5
(
a
−
1
)
{\displaystyle {\frac {2a}{a-1}}={\frac {10a}{5(a-1)}}}
a
{\displaystyle a}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
a
c
b
c
{\displaystyle {\frac {ac}{bc}}}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
c
{\displaystyle c}
a
c
b
c
{\displaystyle {\frac {ac}{bc}}}
b
≠
0
,
c
≠
0
{\displaystyle b\neq 0,c\neq 0}
a
c
b
c
{\displaystyle {\frac {ac}{bc}}}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
b
=
0
,
c
=
0
{\displaystyle b=0,c=0}
[2]
Тотожності (властивості степенів) [ ред. | ред. код ] Для будь яких
x
,
y
{\displaystyle x,y}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
a
x
a
y
=
a
x
+
y
{\displaystyle a^{x}a^{y}=a^{x+y}}
a
x
÷
a
y
=
a
x
−
y
{\displaystyle a^{x}\div a^{y}=a^{x-y}}
(
a
x
)
y
=
a
x
y
{\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
{\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}b^{x}}
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
{\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}}
a
−
x
=
1
a
x
{\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}}
Логарифмічні тотожності [ ред. | ред. код ] Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня
x
p
{\displaystyle x^{p}}
х ; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p.[3]
x
>
0
,
y
>
0
,
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle x>0,y>0,a>0,a\neq 1}
p
∈
R
{\displaystyle p\in R}
Формула
Приклад
добуток
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}
log
3
(
243
)
=
log
3
(
9
⋅
27
)
=
log
3
(
9
)
+
log
3
(
27
)
=
2
+
3
=
5
{\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}
частка
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
−
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}
log
2
(
16
)
=
log
2
(
64
4
)
=
log
2
(
64
)
−
log
2
(
4
)
=
6
−
2
=
4
{\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}
степінь
log
b
(
x
p
)
=
p
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}
log
2
(
64
)
=
log
2
(
2
6
)
=
6
log
2
(
2
)
=
6
{\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}
корінь
log
b
x
p
=
log
b
(
x
)
p
{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}
log
10
1000
=
1
2
log
10
1000
=
3
2
=
1.5
{\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}
З означення логарифма випливає, що при
a
>
0
,
a
≠
1
,
b
>
0
{\displaystyle a>0,a\neq 1,b>0}
a
log
a
b
=
b
{\displaystyle a^{\log _{a}{b}}=b}
[4]
Формула переходу до іншої основи логарифма [ ред. | ред. код ] Прологарифмуємо за основою
c
{\displaystyle c}
c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle c>0,c\neq 1}
a
log
a
b
=
b
{\displaystyle a^{\log _{a}{b}}=b}
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
{\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
[5]
Тотожності гіперболічної функції [ ред. | ред. код ] Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна[6] Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел .
ch
2
x
−
sh
2
x
=
1
{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}
Парність :
sh
(
−
x
)
=
−
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}
ch
(
−
x
)
=
ch
x
{\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}
th
(
−
x
)
=
−
th
x
{\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}
Формули додавання:
sh
(
x
±
y
)
=
sh
x
ch
y
±
sh
y
ch
x
{\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}
ch
(
x
±
y
)
=
ch
x
ch
y
±
sh
y
sh
x
{\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}
th
(
x
±
y
)
=
th
x
±
th
y
1
±
th
x
th
y
{\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\operatorname {th} y}}}
Приклади тотожностей в математиці [ ред. | ред. код ] 
![{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2499a9e2a1b1e9e77ccb8dda608b297e0b943f19)
