Тотожність

Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,

$a+b=b+a$,

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$,

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$,

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$,

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$,

$(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc$,

$\left(a+b\right)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}$,

$a:{\frac {b}{d}}={\frac {ad}{b}}$,

$a\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{d}}$

$(a+b)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}$

тощо.

Рівність $x+2=5$ має місце не для будь-якого значення $x$, а тільки при $x=3$. Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: $25^{2}=625$.

Тотожність часто позначається символом «≡»

Формули скороченого множення

• Квадрат суми (різниці): $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$ справедлива рівності для будь яких $a,b$.

• Різниця квадратів: $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ справедлива рівність для будь яких $a,b$.

• Куб суми (різниці): $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$ справедлива рівність для будь яких $a,b$.

• Сума (різниця) кубів: $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$ справедлива рівність для будь яких $a,b$.

• Многочлени $(a+b\pm c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\pm 2ac\pm 2bc$ справедлива рівність для будь яких $a,b,c$.

Пропорція

Пропорція ${\frac {2a}{a-1}}={\frac {10a}{5(a-1)}}$ є тотожність при всіх значеннях $a$, крім $a=1$, оскільки при $a=1$ знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу ${\frac {ac}{bc}}$ виразом ${\frac {a}{b}}$ (скоротили на $c$) є тотожнім перетворенням виразу ${\frac {ac}{bc}}$ при обмеженнях: $b\neq 0,c\neq 0$.Отже, ${\frac {ac}{bc}}$=${\frac {a}{b}}$ — тотожність при всіх значеннях змінних, крім $b=0,c=0$.

Тотожності (властивості степенів)

Для будь яких $x,y$ і додатних $a,b$ справедливі рівності:

$a^{0}=1$; $a^{x}a^{y}=a^{x+y}$; $a^{x}\div a^{y}=a^{x-y}$; $(a^{x})^{y}=a^{xy}$; $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$; $({\frac {a}{b}})^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}$; $a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}$.

Логарифмічні тотожності

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня $x^{p}$ дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p. У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що $x>0,y>0,a>0,a\neq 1$, $p\in R$.

	Формула	Приклад
добуток	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
частка	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
степінь	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
корінь	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

З означення логарифма випливає, що при $a>0,a\neq 1,b>0$ виконується рівність $a^{\log _{a}{b}}=b$. ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.

Формула переходу до іншої основи логарифма

Прологарифмуємо за основою $c$, де $c>0,c\neq 1$, обидві частини основної логарифмічної тотожності $a^{\log _{a}{b}}=b$. Отримаємо: $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$ — формула переходу від логарифма з основою $a$ до логарифма з основою $c$.

Тотожності гіперболічної функції

Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

1. $\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1$
2. Парність:
   1. $\operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x$
   2. $\operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x$
   3. $\operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x$
3. Формули додавання:
   1. $\operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x$
   2. $\operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x$
   3. $\operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\operatorname {th} y}}$.

Приклади тотожностей в математиці

• Тотожність Ейлера
• Тотожність паралелограма
• Тотожність чотирьох квадратів
• Тотожність восьми квадратів
• Тригонометричні тотожності

Див. також

• Відношення еквівалентності