Тотожність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Тотожністьматематиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,

,
,
,
,
,
,
,
,

тощо.

Рівність має місце не для будь-якого значення , а тільки при . Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: .

Тотожність часто позначається символом «»

Формули скороченого множення[ред. | ред. код]

  • Квадрат суми (різниці): справедлива рівності для будь яких .
  • Різниця квадратів: справедлива рівність для будь яких .
  • Куб суми (різниці): справедлива рівність для будь яких .
  • Сума (різниця) кубів: справедлива рівність для будь яких .
  • Многочлени справедлива рівність для будь яких .[1]

Пропорція[ред. | ред. код]

Пропорція є тотожність при всіх значеннях , крім , оскільки при знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу виразом (скоротили на ) є тотожнім перетворенням виразу при обмеженнях: .Отже, = — тотожність при всіх значеннях змінних, крім [2].

Тотожності (властивості степенів)[ред. | ред. код]

Для будь яких і додатних справедливі рівності:

; ; ; ; ; ; .

Логарифмічні тотожності[ред. | ред. код]

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p.[3] У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що , .

Формула Приклад
добуток
частка
степінь
корінь

З означення логарифма випливає, що при виконується рівність . ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.[4]

Формула переходу до іншої основи логарифму[ред. | ред. код]

Прологарифмуємо за основою , де , обидві частини основної логарифмічної тотожності . Отримаємо:  — формула переходу від логарифма з основою до логарифма з основою [5].

Тотожності гіперболічної функції[ред. | ред. код]

Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна[6] зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

  1. Парність:
  2. Формули додавання:
    1. .[7]

Приклади тотожностей в математиці[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки і джерела[ред. | ред. код]