Третя похідна

У диференційному численні, третя похідна чи похідна третього порядку — це швидкість, з якою змінюється друга похідна, або швидкість зміни швидкості зміни, яка використовується, насамперед, для визначення відхилення. Третя похідна функції $f(x)=y$ можна позначати через:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].$

Перераховані вище позначення є найбільш поширеними.

Позначення

Нехай $f(x)$ — функція деякої змінної х. Тоді третя похідна від $f(x)$ задається наступним чином: $f'''(x)$.

У Нотації Лейбніца: ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)]$.

Приклад

Нехай $f(x)=x^{4}$. Тоді $f'(x)=4x^{3}$ та $f''(x)=12x^{2}$. Тому, третя похідна від f(x):

$f'''(x)=24x$

У Нотації Лейбніца:

${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x$

Застосування у геометрії

У диференціальній геометрії скрут кривої — основна властивість кривої у тривимірному просторі. Скрут кривої обчислюється за допомогою третіх похідних координатних функцій (або вектора положення), що описують криву.

Застосування у фізиці

У фізиці, насамперед у кінематиці, ривок визначається як третя похідна від радіус-вектору об'єкта. Це швидкість, з якою змінюється прискорення. Формула ривку:

$\mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}$

де j ( t ) — функція ривка відносно часу, а r ( t ) — позиційна функція об'єкта відносно часу.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 250+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)