Тригонометричні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Тригонометри́чні фу́нкції — функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола. Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь.

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

  • синус (sin α)
  • косинус (cos α)
  • тангенс (tg α = sin α / cos α)
  • котангенс (ctg α = cos α / sin α)
  • секанс (sec α = 1 / cos α)
  • косеканс (cosec α = 1 / sin α)

Означення[ред. | ред. код]

Геометричне визначення[ред. | ред. код]

Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.
Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник.
Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:

Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:

Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:

Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:

Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.

Один період функцій sin(x) та cos(x)

та це періодичні функції із періодом
та мають період

Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу

Основні співвідношення[ред. | ред. код]

Trigonometric functions.svg

Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:

Теореми додавання та формули для кратних кутів[ред. | ред. код]

Формули для функцій суми кутів[ред. | ред. код]

Із основного співвідношення

отримуємо

Формули для функцій подвійних кутів[ред. | ред. код]

Формули для функцій потрійних кутів[ред. | ред. код]

Формули для функцій половинних кутів[ред. | ред. код]

Формули для суми функцій кута[ред. | ред. код]

Загальні формули для функцій кратних кутів[ред. | ред. код]

Якщо n є цілим додатнім числом, то

Загальні формули для степенів функцій[ред. | ред. код]

Якщо n є цілим непарним числом, то


Якщо n є цілим парним числом, то

Розклади в ряд Тейлора[ред. | ред. код]

Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:

де

Un n-те перетворення Бустрофедона,
Bn числа Бернуллі, та
En числа Ейлера.



Зв'язок з експонентою та комплексними числами[ред. | ред. код]

Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin та cos є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:

Це співвідношення називається формулою Ейлера.

Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z:

де i 2 = −1, а та — відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x мають місце співвідношення

Комплексний синус
Комплексний косинус
Комплексний тангенс

Диференціювання та інтегрування[ред. | ред. код]

Зв'язок з диференціальним рівнянням[ред. | ред. код]

Функції та є розв'язками диференційного рівняння гармонічних коливань

Властивості і застосування[ред. | ред. код]

Теорема синусів[ред. | ред. код]

Теорема синусів стверджує, що для довільного трикутника із сторонами a, b, і c та кутами, що протилежні тим сторонам A, B і C:

де Δ це площа трикутника, або, еквівалентно,

де R це радіус кола, що описує трикутник .

Фігура Ліссажу, фігура утворена функції основаній на тригонометричних функціях.

Це можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутника, і використовуючи визначення синуса. Теорема синусів корисна для розрахунку довжин невідомих сторін трикутника, при відомих двох кутах і довжині однієї з його сторін. Ця ситуація є типовою для задачі триангуляції, техніки визначення невідомих відстаней шляхом вимірювання двох кутів із двох точок на доступній відомій відстані.

Теорема косинусів[ред. | ред. код]

Теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора:

або еквівалентно,

В цій формулі кут C є протилежним до сторони c. Цю теорему можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутника і застосувавши теорему Піфагора.

Теорему косинусів можна застосувати для визначення сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін і кут між ними. Також її можна застосувати для визначення косинуса кута (і відповідно значення самого кута) якщо відомі довжини всіх сторін трикутника.

Теорема тангенсів[ред. | ред. код]

Докладніше: Теорема тангенсів

Всі наступні вирази формулюють теорему тангенсів[1]

Пояснення цих формул на словах було б громіздким, але закономірності сум і різниць для довжин сторін і відповідних протилежних кутів видно із теореми.

Теорема котангенсів[ред. | ред. код]

Якщо

(радіус вписаного кола в трикутник)

і

(напів-периметр трикутника),

тоді всі наступні формули описують теорему котангенсів[1]

З відси випливає, що

На словах теорема полягає в тому, що котангенс половинного кута дорівнює відношенню напів-периметра від якого віднято сторону протилежну заданому куту, до радіуса вписаного кола.

Періодичні функції[ред. | ред. код]

Анімація адитивного синтезу[en] меандру із збільшенням кількості гармонік
Синусоїдальні базисні функції (знизу) можуть сформувати пилоподібну хвилю (зверху), якщо їх додати між собою. Всі базові функцію матимуть вузли, що співпадають із вузлами пилоподібної хвилі, і всі крім основної (k = 1) матимуть додаткові вузли. Коливання, які відбуваються біля краю зубця при великих значеннях k називаються явищем Гіббса[en]

Тригонометричні функції також мають важливе застосування у фізиці. Функції синуса і косинуса, наприклад, використовують для описання гармонічних коливань, які моделюють багато природних явищ, такі як рух маси закріпленої на пружині, і для малих кутів, рух маятника для маси що висить на нитці. Функції синуси і косинуса є одновимірними проекціями рівномірного кругового руху[en].

Тригонометричні функції також довели свою користь при вивченні загальних періодичних функцій. Характерна хвильова структура періодичних функцій корисна для моделювання явищ, таких як звукові або світлові хвилі.[2]

В загальних умовах, періодичну функцію f(x) можна виразити у вигляді суми синусних або косинусних хвиль за допомогою Ряду Фур'є.[3] Позначивши синусні або косинусні базисні функції[en] як φk, розкладання періодичної функції f(t) буде мати наступну форму:

Наприклад, квадратну хвилю (меандр) можна записати у вигляді ряду Фур'є

В анімації квадратної хвилі праворуч можна побачити, що лише декілька термів вже досить аби створити добру апроксимацію квадратної форми хвилі. Суперпозицію декількох термів в розкладанні пилоподібної хвилі[en] можна побачити знизу під тим малюнком.


Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 529-530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
  2. Farlow, Stanley J. (1993). Partial differential equations for scientists and engineers (вид. Reprint of Wiley 1982). Courier Dover Publications. с. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Архів оригіналу за 2015-03-20. 
  3. Див. приклад, Folland, Gerald B. (2009). Convergence and completeness. Fourier Analysis and its Applications (вид. Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992). American Mathematical Society. с. 77ff. ISBN 978-0-8218-4790-9. 

Джерела[ред. | ред. код]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973, — 832 с.

Посилання[ред. | ред. код]