Тригонометрія
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο — трикутник та μετρειν — вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) — розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.
Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови алгебраїчними операціями.
Історичні відомості[ред. | ред. код]
Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву «тригонометрія», були ще у стародавніх єгиптян[1]. У папірусі Ахмеса є п'ять задач, що стосуються вимірювання пірамід, у яких згадується якась функція кута — «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські архітектори будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної грані до основи (52°) і кута між ребром та діагоналлю основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.
Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній Месопотамії шістдесятковій системі числення. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною астролябією.
Стародавні греки вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.
Тригонометричну функцію синус вперше запровадили стародавні індійці в «Сур'я Сіддханті». Властивості цієї функції дослідив індійський математик 5 століття Аріабхата I[2]. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До 10 століття вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В Європу поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць аль-Баттані та Ат-Тусі. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга «De Triangulis» німецького математика 15 століття Регіомонтана. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. Миколай Коперник змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці «Про обертання небесних сфер» (лат. «De revolutionibus orbium coelestium»).
Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами навігації та картографії[3]. Сам термін тригонометрія запровадив, опублікувавши в 1595 книгу під такою ж назвою, німецький математик Варфоломей Пітіск (нім. Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613)[4]. Гемма Фрізій описав метод триангуляції.
Із становленням математичного аналізу тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям Брука Тейлора та Коліна Маклорена тригонометричні функції отримали представлення у вигляді рядів[5]. Формула Муавра встановила зв'язок між тригонометричними функціями та експонентою. Леонард Ейлер розширив означення тригонометричних функцій на комплексну площину.
Тригонометричні функції[ред. | ред. код]

Тригонометрія ґрунтується на співвідношенні подібності. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні прямокутні трикутники, в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра — величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс, через відношення різних сторін прямокутного трикутника.
Нехай ABC — прямокутний трикутник. C — вершина прямого кута, AB — гіпотенуза, AC і BC — катети, α — кут BAC.
Прямі тригонометричні функції[ред. | ред. код]
Формула | Назва | Визначення | |
---|---|---|---|
sin α =BC/AB=a/c | синус | відношення протилежного катета до гіпотенузи | |
cos α =AC/AB=b/c | косинус | відношення прилеглого катета до гіпотенузи | |
tg α =BC/AC=a/b | тангенс | відношення протилежного катета до прилеглого | |
ctg α =AC/BC=b/a | котангенс | відношення прилеглого катета до протилежного | |
sec α =AB/AC=c/b | секанс | відношення гіпотенузи до прилеглого катета | |
csc α =AB/BC=c/a | косеканс | відношення гіпотенузи до протилежного катета |
Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до радіан). У XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числову вісь. Якщо розглянути у прямокутній системі координат коло одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку — за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено A. Тоді:
- Синус кута визначається як ордината точки A.
- Косинус — абсциса точки A.
- Тангенс — відношення синуса до косинуса.
- Котангенс — відношення косинуса до синуса (тобто величина, обернена до тангенса).
- Секанс — величина, обернена до косинуса.
- Косеканс — величина, обернена до синуса.
Для гострих кутів нові визначення збігаються з попередніми.
Можливим є також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов'язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінчений ряд.
Властивості функції sin[ред. | ред. код]
- Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: .
- Множина значень — проміжок [−1; 1]: = [−1;1].
- Функція є непарною: .
- Функція є періодичною, найменший додатній період становить : .
- Графік функції перетинає вісь Ох при .
- Проміжки знакосталості: при і при .
- Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
- Функція зростає при , і спадає при .
- Функція має мінімум при і максимум при .
Властивості функції cos[ред. | ред. код]
- Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: .
- Множина значень — проміжок [−1; 1]: = [−1;1].
- Функція є парною: .
- Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює : .
- Графік функції перетинає вісь Ох при .
- Проміжки знакосталості: при і при
- Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
- Функція зростає при і спадає при
- Функція має мінімум при і максимум при
Властивості функції tg[ред. | ред. код]
- Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: , крім чисел
- Множина значень — множина всіх дійсних чисел:
- Функція є непарною: .
- Функція є періодичною, найменший додатній період становить : .
- Графік функції перетинає вісь Ох при .
- Проміжки знакосталості: при і при .
- Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення:
- Функція зростає при .
Властивості функції ctg[ред. | ред. код]
- Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел: крім чисел
- Множина значень — множина всіх дійсних чисел:
- Функція є непарною:
- Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює :
- Графік функції перетинає вісь Ох при
- Проміжки знакосталості: при і при
- Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення:
- Функція спадає при
Обернені тригонометричні функції[ред. | ред. код]
Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса арк- до назви відповідної прямої фунцкії. Наприклад,
- — арксинус, кут, синус якого дорівнює х;
- — арккосинус, кут, косинус якого дорівнює х.
- — арктангенс, кут, тангенс якого дорівнює х.
Формули переходу[ред. | ред. код]
Це співвідношення є наслідком теореми Піфагора й називається тригонометричною одиницею.
Основні теореми тригонометрії[ред. | ред. код]
Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: теореми синусів, теореми косинусів й теореми тангенсів.
Теорема синусів[ред. | ред. код]
Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами і відповідними протилежними до них кутами можна записати:
де — радіус описаного кола навколо трикутника.
Теорема косинусів[ред. | ред. код]
За теоремою косинусів, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами і кутом , між сторонами :
або:
Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.
Теорема тангенсів[ред. | ред. код]
Теорема тангенсів — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):
Площа трикутника[ред. | ред. код]
Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:
Найпростіші тригонометричні рівняння[ред. | ред. код]
Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.
Формули перетворення тригонометричних виразів[ред. | ред. код]
Синус та косинус суми/різниці
Сума/різниця синусів та косинусів
Формула Ейлера[ред. | ред. код]
Формула Ейлера — співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.
Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа виконується рівність:
- ,
де — основа натурального логарифма,
Формула Ейлера надає зв'язок між математичним аналізом й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як зважені суми експоненціальної функції:
Приведені рівняння можуть бути отримані шляхом додавання або віднімання формул Ейлера:
з наступним вирішенням відносно синуса або косинуса.
Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку x = iy, отримуємо:
Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.
Сферична тригонометрія[ред. | ред. код]
Сферична тригонометрія — розділ сферичної геометрії головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов'язане з задачами сферичної астрономії.
Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома «прямими» дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці «прямі». Дві будь-які «прямі» в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три «прямі», перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.
Сторони і кути сферичного трикутника пов'язані залежностями:
де — сторони сферичного трикутника; — кути, протилежні до цих сторін; — радіус сфери.
Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.
Застосування[ред. | ред. код]
Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, фізика, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.
Див. також[ред. | ред. код]
![]() |
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Тригонометрія |
- Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
- Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій
- Список тригонометричних тотожностей
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ К. І. Швецов, Г. П. Бевз Довідник з елементарної математики, 1967, К.: Наукова думка. — C. 250—252.
- ↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (вид. Second Edition). John Wiley & Sons, Inc. с. 215. ISBN 0471543977.
- ↑ Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 0-393-32030-8.
- ↑ Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries. Архів оригіналу за 1 січня 2014. Процитовано 23 березня 2011.
- ↑ William Bragg Ewald (2008).From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics [Архівовано 1 січня 2014 у Wayback Machine.]. Oxford University Press US. p.93. ISBN 0-19-850535-3
Джерела[ред. | ред. код]
- Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота № 2.—К.: НТУУ «КПІ», 2001.— 108 с. — (Серія «На допомогу абітурієнту»)
- Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. — К.:Освіта, 2000. — 318 с.
- Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — 2-ге вид. — Зодіак-ЕКО, 2001. — 656 с.
- Швецов К. І., Бевз Г. П. Довідник з елементарної математики. — 1967, К.: Наукова думка. — 656 с.
- Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
- Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.
Посилання[ред. | ред. код]
- Тригонометрія // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Динамічні математичні моделі FIZMA.neT [Архівовано 1 квітня 2022 у Wayback Machine.]
- David Joyce Dave's Short Course in Trigonometry [Архівовано 15 червня 2008 у Wayback Machine.] (Університет Кларка) (англ.)
- Michael Corral Trigonometry [Архівовано 29 липня 2013 у Wayback Machine.] (поширюється на умовах GNU Free Documentation License) (англ.)
|