Тригранний кут

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Тригранний кут

Тригранний кут — це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами зі спільною вершиною і попарно загальними сторонами, що не лежать в одній площині. Спільна вершина цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути при вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут. Якщо розташувати вершину тригранного кута в центрі сфери одиничного радіуса, на її поверхні утворюється обмежений ним сферичний трикутник, сторони якого рівні плоским кутах тригранного кута, а кути — його двогранним кутам.

Нерівність трикутника для тригранного кута[ред.ред. код]

Кожен плоский кут тригранного кута менше суми двох інших його плоских кутів.

Сума плоских кутів тригранного кута[ред.ред. код]

Сума плоских кутів тригранного кута менша від 360 градусів.

Доведення.

Нехай OABC — даний тригранний кут. Розглянемо тригранний кут з вершиною A, утворений гранями ABO, ACO і кутом BAC. Напишемо нерівність:

Аналогічно, і для решти тригранних кутів з вершинами B і С:

Складаючи ці нерівності і враховуючи, що сума кутів трикутника ABC дорівнює 180°, отримуємо

Отже:

Теорема косинусів для тригранного кута[ред.ред. код]

Перша теорема косинусів для тригранного кута cos α = cos βcos γ + sin βsin γcos A

Друга теорема косинусів для тригранного кута

де α, β, γ — плоскі кути, A, B, C — двогранні кути, складені площинами кутів β і γ, α і γ, α і β.

Доведення другої теореми косинусів для тригранного кута. Нехай OABC — даний тригранний кут. Опустимо перпендикуляри з внутрішньої точки тригранного кута на його грані й отримаємо новий тригранний кут полярний (подвійний даному). Плоскі кути одного тригранного кута доповнюють двогранні кути іншого і двогранні кути одного кута доповнюють плоскі іншого до 180 градусів. Тобто плоскі кути полярного кута відповідно рівні: 180 — А; 180 — В; 180 — С, а двогранні — 180 — α; 180 — β; 180 — γ. Напишемо першу теорію косинусів для нього

і після спрощень отримуємо:

Теорема синусів для тригранного кута[ред.ред. код]

, де α, β, γ — плоскі кути тригранного кута; A, B, C — протилежні їм двогранні кути.

Див. також[ред.ред. код]