Перейти до вмісту

Трикутна хвиля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Обмежена трикутна хвиля: залежність від часу (вгорі) та частоти (внизу). Основна частота дорівнює 220 Гц (A3)

Трикутна хвиля — це несинусоїдальна форма хвилі, названа на честь своєї трикутної форми. Це періодична, кусково-лінійна, неперервна, дійснозначна функція.

Як і прямокутна хвиля, трикутна хвиля містить тільки непарні гармоніки. Однак вищі гармоніки скочуються[en] набагато швидше ніж в прямокутної хвилі (пропорційно оберненому квадрату номера гармоніки, а не оберненому значенню).

Гармоніки

[ред. | ред. код]
Анімація адитивним синтезом[en] трикутної хвилі зі збільшенням кількості гармонік. Див. Фур'є-аналіз для математичного опису.

Можна апроксимувати трикутну хвилю адитивним синтезом[en], підсумовуючи непарні гармоніки основної частоти, домножуючи кожну іншу непарну гармоніку на (або, еквівалентно, змінюючи її фазу на π) і домножуючи амплітуду гармонік на обернений квадрат їх номера моди (або на обернений квадрат їх відносної частоти до фундаментальної).

Вищесказане можна математично узагальнити наступним чином:

,

де  — кількість гармонік, що включаються в наближення,  — незалежна змінна (наприклад, час для звукових хвиль),  — основна частота, а  — індекс гармоніки, яка пов'язана з номером її моди, .

Цей нескінченний ряд Фур'є сходиться до трикутної хвилі, коли прямує до нескінченності як показано на анімації.

Означення

[ред. | ред. код]
Синусоїдальні, прямокутні, трикутні, та пилкоподібні хвилі

Ще одне означення трикутної хвилі на інтервалі від до та з періодом :

,

де символ  — функція підлоги від .

Також трикутна хвиля може бути абсолютним значенням пилкоподібної хвилі :

або для інтервалу від до :

Трикутна хвиля також може бути виражена як інтеграл

.

Це просте рівняння з періодом та початковим значенням :

.

Оскільки у цьому представлені використовується лише функція модуля[en]та абсолютне значення, то це можна використовувати для простої реалізації трикутної хвилі на апаратній електроніці з малою потужністю процесора. Попереднє рівняння можна узагальнити на випадок періоду , амплітуди і початкового значення :

Попередня функція — це частковий випадок останньої при і :

Непарну версію першої функції можна отримати, просто змістити на одиницю початкове значення, що змінить фазу вихідної функції:

Узагальнюючи це, одержуємо непарну функцію для будь-якого періоду і амплітуди:

За допомогою функцій sine та arcsine з періодом та амплітудою трикутну хвилю можна записати у вигляді:

Довжина дуги

[ред. | ред. код]

Довжина дуги за період для трикутної хвилі заданої амплітуди та періодом  :

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Weisstein, Eric W. Fourier Series - Triangle Wave(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.