Тіла обертання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Утворення поверхні обертання

Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Приклади тіл обертання[ред.ред. код]

  • Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
  • Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:

Sбіч = 2πrh.
  • Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів

За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:

Sбіч = πrl.

Площа повної поверхні конуса:

Sбіч = πr(l+ r).
  • Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його [1]


При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).

Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа
Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа

Об'єм і площа поверхні тіл обертання[ред.ред. код]

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа.

  • Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії.

Наприклад, для тора радіусом R i з радіусом кола r, довжина лінії s = 2 \pi r, довжина кола для центру мас l = 2 \pi R, звідки площа поверхні тора s \cdot l = 4 \pi^2 r R.

  • Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.

Наприклад, для тора радіусом R i з радіусом кола r, площа кола A = \pi r^2, довжина кола обертання центру мас l = 2 \pi R, звідси об'єм тора A \cdot l = 2 \pi^2 r^2 R


Примітки[ред.ред. код]

  1. Математика. Энциклопедия для детей том 11-й ISBN 5-94623-072-7

Джерела[ред.ред. код]