Тіла обертання

Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Приклади тіл обертання

Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:

S_біч = 2πrh.

Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів

За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:

S_біч = πrl.

Площа повної поверхні конуса:

S_біч = πr(l+ r).

Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його^[1]

При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).

Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа

Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа

Об'єм і площа поверхні тіл обертання

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа.

Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πr_s, яке пробігає центр мас (т. С) цієї лінії.

Наприклад, для тора радіусом $R$ i з радіусом кола $r$ , довжина лінії $s=2\pi r$ , довжина кола для центру мас $l=2\pi R$ , звідки площа поверхні тора $s\cdot l=4\pi ^{2}rR$ .

Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πR_s, яке пробігає центр мас (т.C_A) цієї фігури.

Наприклад, для тора радіусом $R$ i з радіусом кола $r$ , площа кола $A=\pi r^{2}$ , довжина кола обертання центру мас $l=2\pi R$ , звідси об'єм тора $A\cdot l=2\pi ^{2}r^{2}R$