Угнута функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Угнута функція або увігнута функція — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною.

Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину.

Означення[ред.ред. код]

Ілюстрація угнутості функції

Дійсна функція f визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається увігнутою, якщо для будь-яких двох точок x і y в її області визначення C і будь-якого t в [0,1], маємо

f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).

Функція називається строго увігнутою, якщо

f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\,

для будь-якого t в (0,1) і xy.

Для функції f:RR, це означення просто стверджує, що для кожного z між x і y, точки (z, f(z)) на графіку f є вище прямої, що з'єднує точки (x, f(x)) і (y, f(y)).

Функція f(x) є квазіувігнутою, якщо множини верхнього контура функції S(a)=\{x: f(x)\geq a\} є опуклими множинами.[1]

Властивості[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

  • Функції f(x)=-x^2 і f(x)=\sqrt{x} є увігнутими, оскільки їхні другі похідні завжди від'ємні.
  • Будь-яка лінійна функція f(x)=ax+b одночасно й увігнута, й опукла.
  • Функція f(x)=\sin(x) є увігнутою на відрізку [0, \pi]\,.
  • Функція \log |B|, де |B| є визначником додатноозначеної матриці B, є увігнутою.[2]

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  1. Varian, Hal A. (1992) Microeconomic Analysis. Third Edition. W.W. Norton and Company. p. 496
  2. Thomas M. Cover and J. A. Thomas (1988). Determinant inequalities via information theory. SIAM journal on matrix analysis and applications 9 (3). с. 384–392. 
  • Crouzeix, J.-P. (2008). Quasi-concavity. У Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics (вид. Second). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375. 
  • Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. с. 779. ISBN 0470183527.