Узагальнений власний вектор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У лінійній алгебрі, узагальнений власний вектор матриці розміру це вектор, що задовольняє певним критеріям, слабкішим ніж у випадку (звичайного) власного вектора.[1]

Нехай буде -вимірним векторним простором; нехай це лінійне відображення з L(V), множини всіх лінійних відображень з на себе; і нехай буде матричним представленням щодо певного впорядкованого базису.

Не завжди існує повний набір з лінійно незалежних власних векторів які формують повний базис для . Тобто, матриця може бути недіагоналізовною.[2][3] Це трапляється коли алгебрична кратність хоча б одного власного значення більша ніж його геометрична кратність (ступінь виродженості матриці , або вимірність її нульового простору). У такому разі, називається дефектним власним значенням, а називається дефектною матрицею.[4]

Узагальнений власний вектор , що відповідає , разом із матрицею породжує жорданів ланцюг лінійно незалежних узагальнених власних векторів, які утворюють базис для інваріантного підпростору .[5][6][7]

Використовуючи узагальнені власні вектори, множину лінійно незалежних власних векторів можна розширити, якщо необхідно, до повного базису .[8] Цей базис можна використати для побудови майже діагональної матриці у жордановій нормальній формі, подібну до , що корисно для обчислення певних матричних функцій від .[1] Матриця також корисна для розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь де має бути діагоналізовною.[9][3]

Розмірність узагальненого власного простору відповідного заданому власному значеню збігається з алгебричною кратністю .[8]

Огляд і означення

[ред. | ред. код]

Існує декілька тотожних способів означити звичайний в-вектор.[10][11][12][13][14][15][16][17] Тут ми вважатимемо, що в-вектор пов'язаний з в-значенням матриці розміру це ненульовий вектор, для якого , де це одинична матриця і це нульовий вектор завдовжки .[12] Тобто, це вектор з ядра відображення . Якщо має лінійно незалежних в-векторів, тоді подібна діагональній матриці . Тобто, існує оборотна матриця така, що діагоналізовна через перетворення подібності .[18][19] Матриця це спектральна матриця для . Матрицю називають модальною матрицею для .[20] Діагоналізовні матриці становлять особливий інтерес завдяки тому, що їхні матричні функції легко обчислити.[21]

З іншого боку, якщо не має лінійно незалежних векторів, тоді не діагоналізовна.[18][19]

Означення: Вектор це узагальнений власний вектор рангу m матриці , що відповідає власному значенню якщо

але

[1]

Очевидно, що узагальнений в-вектор рангу 1 це звичайний в-вектор.[22] Кожна матриця має лінійно незалежних узагальнених в-векторів, можна показати, що вона подібна до майже діагональної матриці в жордановій нормальній формі.[23] Тобто, існує оборотна матриця така, що .[24] Тут матриця це узагальнена модальна матриця для .[25] Якщо це в-значення алгебричної кратності , тоді матиме лінійно незалежних в-векторів відповідних .[8] Ці результати надають безпосередній метод обчислення певних матричних функцій для .[26]

Зауваження: для того, щоб матрицю розміру над полем можна було виразити в жордановій нормальній формі, всі в-значення повинні бути в . Тобто, має бути можливим повністю факторизувати характеристичний поліном на лінійні множники. Наприклад, якщо має дійсно-значимі елементи, то дякі її в-значення і компоненти в-векторів можуть бути комплексні.[4][27][3]

Підпростір натягнутий на всі узагальнені в-вектори для заданого , утворює узагальнений власний простір для .[3]

Приклади

[ред. | ред. код]

Наведемо декілька прикладів, щоб проілюструвати концепцію узагальнених в-векторів.

Приклад 1

[ред. | ред. код]

Цей приклад просто, але ясно висвітлює ідею. Такий тип матриць можна часто зустріти в підручниках.[3][28][2] Покладемо

Тут лише одне в-значення, , і його алгебрична кратність m = 2.

Зауважте, що ця матриця в жордановій нормальній формі, але не діагональна. З цього ясно, що матриця недіагоналізовна. Через те, що наявний один наддіагональний елемент, маємо один узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1 (також можна помітити, що векторний простір двовимірний, тому може бути не більше ніж один узагальнений вектор рангу більше ніж 1). Інакше, можна обчислити розмірність p нульового простору , яка дорівнює 1, і отже існує mp = 1 узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1.

Звичайний в-вектор можна обчислити як зазвичай. Далі, використовуючи цей в-вектор, можна обчислити узагальнений в-вектор розв'язавши

Це можна розписати як:

І спростити до:

На елемент немає обмежень. Виходить, що узагальнений в-вектор рангу 2 це , де a може бути будь-яким скалярним значенням. Зазвичай, найпростішим вибором буде a = 0.

Зауважте, що

тобто це узагальнений в-вектор,

отже це звичайний в-вектор, і вектори та лінійно незалежні, а значить є базисом для векторного простору .

Приклад 2

[ред. | ред. код]

Цей приклад складніший ніж попередній. На жаль, вельми складно підібрати цікавий приклад маленького розміру.[29] Матриця

має такі в-значення і із алгебричними кратностями and , але їхні геометричні кратності і .

Узагальнені в-простори обчислено нижче. це звичайний в-вектор для . це узагальнений в-вектор для . це звичайний в-вектор для . і це узагальнені в-вектори для with .

В-вектори, звичайні й узагальнені, зібрані в базиси узагальнених в-просторів матриці . Два ланцюги разом породжують простір 5-вимірних векторів стовпчиків.

Майже діагональну в жордановій нормальній формі матрицю , подібну до отримуємо так:

де це узагальнена модальна матриця для , стовпчики складають канонічний базис для , а .[30]

Жорданові ланцюги

[ред. | ред. код]

Означення: Нехай буде узагальненим в-вектором рангу m, що відповідає в-значенню матриці Ланцюг утворений це множина векторів таким чином




 

 

 

 

(1)

Тобто, маємо таку формулу,

 

 

 

 

(2)

Вектор , обчислений за (2), це узагальнений в-вектор рангу j, що відповідє в-значенню . Ланцюг являє собою лінійно незалежну множину векторів.[6]

Канонічний базис

[ред. | ред. код]

Означення: Множина з n лінійно незалежних узагальнених векторів утворена винятково жордановими ланцюгами це канонічний базис.

Отже, щойно ми визначили, що узагальнений в-вектор рангу m приналежить канонічному базису, з цього випливає, що m − 1 vectors які входять до жорданового ланцюга породженого також приналежать канонічному базису.[31]

Нехай буде в-значенням алгебричної кратності матриці розміру Спочатку знайдімо ранги матриць Ціле число визначається як перше ціле для якого має ранг

Тепер визначимо

Змінна позначає число лінійно незалежних узагальнених в-векторів рангу k, що відповідають в-значенню які з'являться в канонічному базисі для. Зауважте, що

.[32]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б в Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  2. а б Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  3. а б в г д Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  4. а б Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  5. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  6. а б Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  7. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  8. а б в Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  9. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  10. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  11. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  12. а б Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  13. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  14. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  15. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  16. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  17. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  18. а б Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  19. а б Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  20. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  21. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  22. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  23. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  24. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  25. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  26. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  27. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  28. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  29. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  30. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  31. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.
  32. Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.

Література

[ред. | ред. код]
  • Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (вид. 5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
  • Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right (вид. 2nd). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8.
  • Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
  • Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
  • Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (вид. 5th), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
  • Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66021267
  • Franklin, Joel N. (1968), Matrix Theory, Englewood Cliffs: Prentice-Hall, LCCN 68016345
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (вид. 3rd), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
  • Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
  • Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
  • Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (вид. 3rd), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
  • Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646