Умова Гельдера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Умова Гельдера — нерівність, що обмежує зміну значення функції через зміну її аргумента. Є узагальненням умови Ліпшіца. Функції, що задовольняють умови Гельдера утворюють повний нормований простір, що називається простором Гельдера. Простори Гельдера відіграють важливу роль в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Означення[ред. | ред. код]

Нехай (X, dX) et (Y, dY) є метричними просторами, функція f : XY називається a-гельдеровою в точці якщо для всіх виконується умова Гельдера:

Число a є дійсним невід'ємним, переважно розглядаються випадки У випадку умова Гельдера зводиться до умови Ліпшіца.

Якщо функція задовольняє умову Гельдера з коефіцієнтом a в усіх точках деякої підмножини метричного простору то її називають a-гельдеровою на всій множині. Часто проте при визначенні гельдерових функцій на деякій множині розглядають лише функції для яких тобто для яких умову Гельдера можна записати з одною константою для всіх точок:

Особливо важливим є випадок дійсних чи комплексних функцій на підмножинах евклідового простору. В цьому випадку наприклад остання рівномірна умова Гельдера записується як:

Простори Гельдера[ред. | ред. код]

На множині дійсних чи комплексних функцій визначених на підмножині евклідового простору, що задовольняють (рівномірну) умову Гельдера можна ввести a-напівнорму Гельдера:

Множина функцій, що мають на відкритій підмножині неперервні похідні до порядку k включно і всі похідні порядку k яких є a-гельдеровими на позначається

Ці множини називаються просторами Гельдера.

Кожна функція, що належить також належить — простору функцій, що мають неперервні похідні до порядку k включно. На визначається норма:

де мультиіндекс, і

Тоді на просторах Гельдера можна ввести ще одну норму:

Разом із цією нормою простори Гельдера на замиканні зв'язаної обмеженої множини в евклідовому просторі є повними нормованими просторами.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Нехай — замикання деякої обмеженої зв'язаної області в евклідовому просторі. Якщо то існує вкладення просторів Гельдера:
і окрім того де константа A не залежить від функції
  • Для одинична куля в просторі є компактною в просторі і відповідно кожна обмежена множина функцій з містить підпослідовність, що в метриці простору збігається до функції з простору .

Приклади[ред. | ред. код]

  • Функція f(x) = xβ (де β ≤ 1) визначена на проміжку [0, 1] належить простору C0,α для 0 < α ≤ β, але не для α > β. Якщо f визначити аналогічно на проміжку , вона належатиме простору C0,α лише для α = β.
  • Для α > 1, єдиними рівномірно α–гельдерівськими функціями на інтервалі [0, 1] є константи.
  • Функція визначена на інтервалі [0, 1/2] як є рівномірно неперервною але не задовольняє умову Гельдера для жодного показника.
  • Функція Кантора задовольняє умову Гельдера для показників α ≤ log(2)/log(3) і не задовольняє для більших чисел. Коли вона задовольняє умову то у визначенні можна взяти рівномірно константу C = 2.
  • Крива Пеано з [0, 1] на квадрат [0, 1]2 може бути побудована так, що вона буде рівномірно 1/2–гельдерівською.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2. 
  • N. V. Krylov (1996). Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces. American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0569-X.