Впорядковане кільце

Дійсні числа є впорядкованим кільцем, яке також є впорядкованим полем. Цілі числа, підмножина дійсних чисел, є впорядкованим кільцем, яке не є впорядкованим полем.

В абстрактній алгебрі впорядковане кільце — це (зазвичай комутативне) кільце $R$ із порядком $\leq$ таке, що для всіх $a$, $b$ і $c$ у $R$:

• якщо $a\leq b$, тоді $a+c\leq b+c$.
• якщо $0\leq a$ та $0\leq b$, тоді $0\leq ab$.

Приклади

Впорядковані кільця знайомі з арифметики. Приклади включають цілі, раціональні та дійсні числа. (раціональні та дійсні числа утворюють впорядковані поля) Комплексні числа, навпаки, не утворюють впорядкованого кільця чи поля, оскільки між елементами $1$ та $i$ немає властивого порядку зв'язку.

Додатні елементи

За аналогією з дійсними числами, ми називаємо елемент $c$ впорядкованого кільця $R$ додатним, якщо $0<c$, і від'ємним, якщо $c<0$. $0$ не вважається ні додатним, ні від'ємним.

Множину додатних елементів впорядкованого кільця $R$ часто позначають $R_{+}$. Альтернативна нотація, якій віддають перевагу в деяких дисциплінах, полягає у використанні $R_{+}$ для набору невід'ємних елементів і $R_{++}$ для набору додатних елементів.

Абсолютна величина

Якщо $a$ — елемент упорядкованого кільця $R$, то абсолютна величина $a$ (позначається $|a|$) визначається так:

$|a|:={\begin{cases}{\hphantom {-}}a,&{\text{якщо }}0\leq a,\\-a,&{\text{в іншому випадку}},\end{cases}}$

де $-a$ є протилежним до $a$ елементом і $0$ є нейтральним елементом.

Дискретні впорядковані кільця

Дискретне впорядковане кільце або дискретно впорядковане кільце — це впорядковане кільце, в якому немає елементів між $0$ і $1$. Цілі числа є дискретним впорядкованим кільцем, а раціональні числа — ні.

Основні властивості

Для всіх $a$, $b$ і $c$ у $R$:

• Якщо $a\leq b$ і $0\leq c$, то $ac\leq bc$. Ця властивість іноді використовується для визначення впорядкованих кілець замість другої властивості у визначенні вище.
• $|ab|=|a||b|$.
• Впорядковане кільце, яке не є тривіальним, є нескінченним.
• Справедливо одне з наступного: $a$ додатне, $-a$ додатне або $a=0$.

Ця властивість випливає з того факту, що впорядковані кільця є абелевими лінійно впорядкованими групами відносно додавання.

• У впорядкованому кільці жоден від'ємний елемент не є квадратом. Це пояснюється тим, що якщо $a\neq 0$ і $a=b^{2}$,

то $b\neq 0$ і $a=(-b)^{2}$; оскільки $b$ або $-b$ додатні, $a$ має бути невід'ємним.

Див. також

• Впорядковане поле — алгебраїчний об'єкт з упорядкованою структурою
• Впорядкована група — група із сумісним частковим порядком
• Впорядкований топологічний векторний простір
• Впорядкований векторний простір — векторний простір із частковим порядком
• Частково впорядковане кільце — кільце з сумісним частковим порядком
• Частково впорядкований простір — частково впорядкований топологічний простір
• Простір Рісса — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка
• Векторна решітка — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка

Примітки

Список нижче містить посилання на теореми, перевірені проектом IsarMathLib.