Усічений додекаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Truncated dodecahedron.png

Усічений додекаедрнапівправильний багатогранник, відноситься до Архімедових тіл, що складається із 12 правильних десятикутників і 20 правильних трикутників, 60 вершин і 90 ребер. Двоїстий до усіченого додекаедра багатогранник — триакісікосаедр.

Отримати даний багатогранник можна за рахунок усічення всіх вершин правильного додекаедра на третину від первісної довжини ребра, за рахунок чого п'ятикутні площини стають десятикутними, а їхні вершини перетворюються на трикутники.

Використовується в ізохорно гіперболічному заповненні простору теселяцією, об'ємами усіченого додекаедра з дисфеноїдно вершинною фігуристикою.

Ортогональні проекції

Dodecahedron t01 v.png Dodecahedron t01 e3x.png Dodecahedron t01 exx.png Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png


Формули[ред.ред. код]

Знаючи довжину ребра усіченого додекаедра - a - отримуємо:

Математичний опис
Об'єм V = \frac{5}{12} \left(99+47\sqrt{5}\right) a^3 \approx 85.0396646a^3
Площа поверхні S = 5 \left(\sqrt{3}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right) a^2 \approx 100.99076a^2

Прямокутна система координат[ред.ред. код]

Наступні декартові координати визначають вершини усіченого додекаедра з довжиною ребра 2(τ-1), і з центром в початку координат -

Розгортка усіченого додекаедра
(0, ±1/τ, ±(2+τ))
(±(2+τ), 0, ±1/τ)
(±1/τ, ±(2+τ), 0)
(±1/τ, ±τ, ±2τ)
(±2τ, ±1/τ, ±τ)
(±τ, ±2τ, ±1/τ)
(±τ, ±2, ±τ2)
(±τ2, ±τ, ±2)
(±2, ±τ2, ±τ)

де τ = (1 + √5) / 2 є золотим січенням (також пишеться φ).

Графічне зображення[ред.ред. код]

Truncateddodecahedron.gif

Сферична плитка[ред.ред. код]

Усічений додекаедр може бути представлений у вигляді сферичної плитки, і спроектований на площину у вигляді стереографічної проекції. Дана проекція буде конформна, зберігаючи кути, але не площини чи ребра багатогранника. Прямі лінії на сфері проектуватимуться як дуги на площині.

Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron stereographic projection decagon.png
центровано десятикутником
Truncated dodecahedron stereographic projection triangle.png
центровано трикутником
Сферична плитка Стереографічна проекція (лицева)


Джерела[ред.ред. код]

  • Weisstein, Eric W. Cuboctahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Пчелінцев В.О. Кристалографія, кристалохімія та мінералогія. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Суми: Вид-во СумДУ, 2008, - 232с.
  • Гордєєва Є.П., Величко В.Л. Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007, – 198с.
  • П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, - 568с.