Усічення (геометрія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Усічення.

П'ятикутне усічення і квадратне усічення

Усічення (англ. frustum; мн. frusta або frustums) в геометрії — це частина тривимірного тіла (зазвичай піраміди або конуса), обмежена його основою та січною площиною, що паралельна цій основі. У випадку піраміди основи усічення є багатокутниками, а бічні грані — трапеціями. Пряме усічення — це пряма піраміда або прямий конус, усічені площиною, перпендикулярною до їхньої осі; в іншому разі усічення є похилим.

У зрізаному конусі або зрізаній піраміді, площина усічення не обов'язково паралельна до основи конуса — на відміну від усічення.

Якщо всі бічні ребра мають однакову довжину, то таке усічення стає призмою (можливо, похилою та/або з неправильними основами).

Елементи, окремі випадки та пов'язані поняття

Вісь усічення збігається з віссю початкового конуса або піраміди. Усічення є круговим, якщо його основи — кола; воно є прямим, якщо вісь перпендикулярна до обох основ, і похилим — в іншому випадку.

Висота усічення — це відстань перпендикуляра між площинами двох основ.

Конуси і піраміди можна розглядати як вироджені випадки усічень, коли січна площина проходить через вершину (тоді відповідна основа зводиться до точки). Пірамідальні усічення становлять підклас призматоїдів.

Два усічення з двома конгруентними основами, з'єднані цими основами, утворюють подвійне усічення.

Формули

Об'єм

Усічена піраміда

Формулу для об'єму усіченої квадратної піраміди було введено ще в математиці Стародавнього Єгипту — у так званому Московському математичному папірусі, датованому XIII династією (прибл. 1850 р. до н. е.):

$V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$

де a і b — довжини сторін нижньої та верхньої основ відповідно, а h — висота.

Єгиптяни знали правильну формулу для об'єму такої усіченої квадратної піраміди, проте в Московському папірусі не подано її доведення.

Об'єм конічного або пірамідального усічення дорівнює об'єму тіла до відсікання його «вершини» мінус об'єм цієї «вершини»:

$V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},$

де B₁ і B₂ — площі нижньої та верхньої основ, а h₁ і h₂ — перпендикулярні відстані від вершини до площин нижньої та верхньої основ.

Беручи до уваги, що

${\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,$

формулу для об'єму можна подати як третину добутку цієї пропорційності $\alpha$ і різниці кубів висот h₁ та h₂:

$V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.$

Скориставшись тотожністю a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), отримуємо:

$V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},$

де h₁ − h₂ = h — висота усічення.

Розкриваючи $\alpha$ та підставляючи його означення, одержуємо середнє за Героном площ B₁ і B₂:

${\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};$

отже, альтернативна формула для об'єму має вигляд::

$V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).$

Герон Александрійський відомий тим, що вивів цю формулу і при цьому зіткнувся з уявною одиницею: уявною одиницею.

3D-модель конічного усічення.

Зокрема:

• Об'єм усіченого кругового конуса:

$V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),$

де r₁ і r₂ — радіуси нижньої та верхньої основ.

• Об'єм усічення піраміди з правильними n-кутними основами:

$V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},$

де a₁ і a₂ — довжини сторін нижньої та верхньої основ.

Площа поверхні

Конічне усічення

Для прямого кругового конічного усічення похила висота $s$ дорівнює

$\displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},$

бічна поверхня має площу:

$\displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,$

а загальна площа поверхні дорівнює

$\displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),$

де r₁ і r₂ — відповідно радіуси нижньої та верхньої основ.

Приклади

• 

  Уловлювач звуку, Нерінга, Литва

  На зворотному боці (реверсі) однодоларової банкноти США, зображено пірамідальне усічення — елемент зворотного боку Великої печатки Сполучених Штатів, увінчаний Всевидячим оком.
• Зикурати, східчасті піраміди та деякі давні кургани корінних народів Північної Америки також утворюють усічення однієї або кількох пірамід, до яких додано інші елементи, зокрема сходи.
• Китайські піраміди.
• Джон-Генкок-центр у Чикаго, Іллінойс є усіченням, основи якого мають прямокутну форму.
• Монумент Вашингтона — це вузьке пірамідальне усічення з квадратною основою, увінчане малою пірамідою.
• Піраміда огляду у тривимірній комп'ютерній графіці — це корисне поле зору віртуальної фото- чи відеокамери, змодельоване у формі усіченої піраміди.
• В англійському перекладі збірки оповідань Станіслава Лема Кіберіада, у вірші Кохання та тензорна алгебра, стверджується, що «кожне усічення прагне стати конусом».
• Відра та типові абажури є повсякденними прикладами усічених конусів.
• Склянки для напоїв та деякі космічні капсули також є подібними прикладами.
• Уловлювач звуку — дерев'яна споруда в Литві.
• сир Валансе
• Цукерки Роло
• Карамельний пудинг або флан

Див. також

• Кульовий шар

Посилання

• Виведення формули об'єму усічень піраміди та конуса (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. Pyramidal frustum(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Conical frustum(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Паперові моделі усічень (усічені піраміди)
• Паперова модель усічення (усічений конус)
• Проєктування паперових моделей конічних усічень (усічених конусів)