Факторіальне кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Факторіа́льне кільце́область цілісності R, в якій кожен необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p1·...·pn (n≥1), причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p1·...·pn=q1·...·qm, то m=n і після перенумерації маємо pi=uiqi для всіх i, де ui - оборотний елемент кільця R (такі елементи називаються асоційованими). Самі елементи pi можуть бути теж асоційованими і навіть рівними.

Приклади[ред.ред. код]

  • Будь-яке кільце головних ідеалів, зокрема Евклідове кільце є факторіальним кільцем. Зокрема таким прикладом є кільце цілих чисел.
  • Довільне поле є, очевидно, факторіальним кільцем, оскільки в ньому немає необоротних елементів.
  • Формальні степеневі ряди K[[X1,...,Xn]] над полем K утворюють факторіальне кільце.
  • Кільце всіх комплексних чисел виду , де a і b — цілі числа не є факторіальним. Наприклад . Числа 2, 3, , і не є асоційовані і є незвідними.

Властивості[ред.ред. код]

  • У факторіальному кільці довільний незвідний елемент є простим.
  • Довільний незвідний елемент факторіального кільця, є простим.
  • Якщо R факторіальне кільце, то і кільце многочленів R[x] є факторіальним, звідси випливає, що і кільце R[x1...xn] факторіальне.
  • Кільце R є факторіальним тоді і тільки тоді коли довільний його простий ідеал містить простий елемент.

Некомутативний випадок[ред.ред. код]

Хоч термін «Факторіальне кільце» використовується переважно для комутативних кілець, подане вище означення можна узагальнити для некомутативного випадку.

Нехай R — деяке кільце, що не має дільників нуля. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p1.pn (n≥1) причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p1·...·pn=q1·...·qm, то m=n і після перенумерації маємо, що фактор-кільця і є ізоморфними[1].

Приклад[ред.ред. код]

Множина кватерніонів a = a0 + a1i + a2j + a3k, де a0,a1, a2,a3 цілі числа або непарні цілі числа поділені на 2 є некомутативним факторіальним кільцем.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Sivaramakrishnan. Certain number-theoretic episodes in algebra, ст. 245

Література[ред.ред. код]