Фактор-кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається .

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай  — кільце, а  — деякий його (двосторонній) ідеал. На можна задати відношення еквівалентності :

тоді і тільки тоді, коли .

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

  • Тоді тобто .
  • Якщо то також , тобто з випливає .
  • Якщо та то також , тобто з та випливає .

Отже відношення є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

позначає клас еквівалентності елемента . Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається .

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай та . Тоді та . Звідси та . Оскільки одержується та , що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця за ідеалом .

Приклади[ред. | ред. код]

  • Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів і самого кільця . є ізоморфним до , а є тривіальним кільцем .
  • Нехай  — кільце цілих чисел, а — кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, . Більш загально можна розглянути фактор-кільце , що є ізоморфним кільцю лишків за модулем .
  • Нехай кільце многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами, і ідеал складається з усіх добутків многочлена на інші многочлени. Фактор-кільце є ізоморфним полю комплексних чисел , і клас еквівалентності відповідає уявній одиниці .
  • Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай  — деяке поле і незвідний многочлен в .Тоді є полем, що містить .

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо  — комутативне кільце то кільце теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
  • Теорема про гомоморфізм кілець:
Якщо  — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця на кільце , то ядро є ідеалом кільця , причому кільце ізоморфне фактор-кільцю .
Навпаки: якщо  — ідеал кільця , то відображення , визначене умовою є гомоморфізмом кільця на з ядром .
  • Ідеал кільця є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце є областю цілісності(полем).
  • Між ідеалами кілець і існує тісний зв'язок. А саме ідеали знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця , що містять ідеал як підмножину. Якщо такий ідеал кільця йому ставиться у відповідність ідеал кільця . До того ж фактор-кільця і є ізоморфними через природний гомоморфізм , для якого

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]