Фермі-газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фермі-газ (або ідеальний газ Фермі—Дірака) — газ, що складається з ферміонів, частинок, які підпорядковуються статистиці Фермі—Дірака. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Газ Фермі—Дірака при нульовій температурі[ред.ред. код]

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе-Ейнштейна) при дорівнює . Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу із частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія такого газу при буде відмінною від нуля.

Величину не важко обчислити. Позначивши через енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при . При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище будуть вільними. Тому повинно існувати точно станів з енергією нижче або рівній . Цієї умови достатньо для знаходження . Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на :

де число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число , для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від до значення , визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при стану з енергією , та прирівнюючи результат до , отримуємо із врахуванням того, що :

або для електронів з :

Величину , найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Газ Фермі—Дірака при скінченній температурі[ред.ред. код]

Для ненульових значень параметра густину числа електронів в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

на множник , який дає число електронів на один квантовий стан:

де величина є хімічний потенціал при , а - хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням , то ми можемо визначити як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до повного числа частинок . Звідси видно, що для величина є функція параметрів та .

Енергію можна знайти із співвідношення:

,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

,

в якому функція є деяка проста та неперервна функція від , наприклад або , та

.

Слід відзначити, що для більшості металів величина має порядок від до К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

,

яке виражає хімічний потенціал через параметри та - хімічний потенціал при . Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає , що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

Посилання[ред.ред. код]