Форма Маурера — Картана

Форма Маурера — Картана в теорії груп Лі — диференціальна форма визначена на групі Лі, що приймає значення у відповідній алгебрі Лі. Названа начесть німецького математика Людвіга Маурера і французького математика Елі Картана.

Означення

Нехай $G$ — група Лі, ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ — відповідна алгебра Лі. Для $g\in G$ визначена функція лівого множення

$L_{g^{-1}}:G\rightarrow G$

$L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h$

Її диференціал в точці $g$

$(dL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}$.

Форма Маурера — Картана $\omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})$ за означенням рівна

$\omega (v):=(dL_{g^{-1}})_{g}(v)$

для $v\in T_{g}G,g\in G$.

Рівняння Маурера — Картана

Рівняння Маурера — Картана записується як

$d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0$.

Дужки Лі диференціальних форм зі значеннями в алгебрі Лі за означенням рівні

$[\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]$

і зовнішня похідна $d\omega$ за означенням рівна

$d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])$.

Див. також

• Зв'язність на головних розшаруваннях

Література

• Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry. American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1.